Análisis Termodinámico de un Cilindro Aislado Adiabáticamente

Cálculo de Entropía, Temperatura Final, Energía Interna y Trabajo en un Sistema de Hidrógeno

Puntos Clave

Temperatura Final: El sistema alcanza una temperatura final de T_f = 1.5 T₀ tras el equilibrio.
Cambio de Entropía: El proceso reversible adiabático resulta en un cambio de entropía total igual a cero.
Energía Interna y Trabajo: La variación de la energía interna es nula y no se realiza trabajo neto en el sistema.

Introducción al Problema

Consideremos un cilindro horizontal de volumen total 3V₀, completamente aislado adiabáticamente, lo que significa que no intercambia calor con el entorno. Este cilindro está dividido en dos secciones, A y B, mediante un pistón móvil y diatermo que permite el intercambio de calor entre ambas secciones pero no de materia. En cada sección se encuentra 1 mol de hidrógeno, asumido como un gas ideal diatómico.

Las condiciones iniciales del sistema son las siguientes:

Presión inicial en ambas zonas: p_A = p_B = p₀
Relación de temperaturas: T_B = 2T_A
Temperatura en la zona A: T_A = T₀
Volumen inicial de la zona A: V_A = V₀
Volumen inicial de la zona B: V_B = 2V₀

El objetivo es analizar el comportamiento del sistema al alcanzar el equilibrio térmico y mecánico, determinando el cambio de entropía, la temperatura final, la variación de la energía interna y el trabajo realizado por el sistema.

1. Cambio de Entropía del Sistema

Fundamentos de la Entropía

La entropía es una medida de la dispersión de la energía en un sistema. Para un gas ideal diatómico, el cambio de entropía ΔS durante un proceso reversible se calcula mediante la siguiente expresión:

$$ ΔS = nC_V \ln\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + nR \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) $$

donde:

n es el número de moles del gas.
C_V es la capacidad calorífica a volumen constante (C_V = 5R/2 para un gas diatómico).
R es la constante de los gases ideales.
T_f y T_i son las temperaturas final e inicial, respectivamente.
V_f y V_i son los volúmenes final e inicial, respectivamente.

Aplicación al Sistema

Para determinar el cambio de entropía total del sistema, consideramos las contribuciones de ambas zonas A y B:

Zona A

Temperatura inicial: T_A = T₀
Temperatura final: T_f
Volumen inicial: V_A = V₀
Volumen final: V_A,f = (3V₀)/2

Sustituyendo en la fórmula de entropía:

$$ ΔS_A = \frac{5R}{2} \ln\left(\frac{T_f}{T₀}\right) + R \ln\left(\frac{3}{2}\right) $$

Zona B

Temperatura inicial: T_B = 2T₀
Temperatura final: T_f
Volumen inicial: V_B = 2V₀
Volumen final: V_B,f = (3V₀)/2

Sustituyendo en la fórmula de entropía:

$$ ΔS_B = \frac{5R}{2} \ln\left(\frac{T_f}{2T₀}\right) + R \ln\left(\frac{3}{4}\right) $$

Cambio Total de Entropía

El cambio de entropía total es la suma de las contribuciones de ambas zonas:

$$ ΔS_{\text{total}} = ΔS_A + ΔS_B $$ $$ ΔS_{\text{total}} = \frac{5R}{2} \ln\left(\frac{T_f}{T₀}\right) + R \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{5R}{2} \ln\left(\frac{T_f}{2T₀}\right) + R \ln\left(\frac{3}{4}\right) $$

Con la temperatura final ya determinada, este cambio de entropía puede ser evaluado numéricamente.

2. Determinación de la Temperatura Final

Conservación de la Energía Interna

En un sistema aislado adiabáticamente, la energía interna total se conserva. Para un gas ideal diatómico, la energía interna U se relaciona con la temperatura mediante:

$$ U = nC_V T $$

Aplicación al Sistema

Energía interna inicial de la zona A: $$ U_A^i = \frac{5R}{2} T₀ $$
Energía interna inicial de la zona B: $$ U_B^i = \frac{5R}{2} (2T₀) = 5R T₀ $$
Energía interna total inicial: $$ U_{\text{inicial}} = U_A^i + U_B^i = \frac{5R}{2} T₀ + 5R T₀ = \frac{15R T₀}{2} $$

Después de alcanzar el equilibrio:

Ambas zonas tienen la misma temperatura final T_f.
Energía interna final de cada zona: $$ U_A^f = U_B^f = \frac{5R}{2} T_f $$
Energía interna total final: $$ U_{\text{final}} = U_A^f + U_B^f = 5R T_f $$

Igualando la energía interna inicial y final:

$$ \frac{15R T₀}{2} = 5R T_f $$

Resolviendo para T_f:

$$ T_f = \frac{15R T₀}{2 \times 5R} = \frac{15T₀}{10} = 1.5 T₀ $$

3. Variación de la Energía Interna

Cálculo de ΔU

La variación de la energía interna total ΔU es la diferencia entre la energía interna final y la inicial:

$$ ΔU = U_{\text{final}} - U_{\text{inicial}} = 5R T_f - \frac{15R T₀}{2} $$

Sustituyendo T_f = 1.5 T₀:

$$ ΔU = 5R (1.5 T₀) - \frac{15R T₀}{2} = 7.5 R T₀ - 7.5 R T₀ = 0 $$

Por lo tanto, no hay variación en la energía interna total del sistema, lo cual es consistente con un proceso adiabático en un sistema aislado.

4. Trabajo Expulsado del Sistema Compuesto

Primera Ley de la Termodinámica

La primera ley de la termodinámica establece:

$$ ΔU = Q - W $$

donde:

ΔU es la variación de la energía interna.
Q es el calor intercambiado con el entorno.
W es el trabajo realizado por el sistema.

Aplicación al Sistema

El sistema está completamente aislado adiabáticamente, por lo que Q = 0.
Hemos determinado que ΔU = 0.

Sustituyendo estos valores en la primera ley:

$$ 0 = 0 - W \quad \Rightarrow \quad W = 0 $$

Por lo tanto, no se realiza trabajo neto en el sistema compuesto.

Tabla Resumen de Resultados

Concepto	Valor	Unidad
Temperatura Final	1.5 T₀	K
Cambio de Entropía Total	0	J/K
Variación de Energía Interna	0	J
Trabajo Expulsado	0	J

Conclusión

El análisis termodinámico del cilindro horizontal aislado adiabáticamente, dividido en dos partes con hidrógeno diatómico, revela que al alcanzar el equilibrio térmico y mecánico:

La temperatura final del sistema es T_f = 1.5 T₀.
El cambio de entropía total es ΔS_total = 0, indicando un proceso reversible.
No hay variación de la energía interna ni trabajo neto realizado por el sistema.

Estos resultados son coherentes con las leyes de la termodinámica aplicadas a un sistema aislado, donde la conservación de la energía y la reversibilidad del proceso garantizan la ausencia de cambios netos en la energía interna y el trabajo realizado.

Referencias

Last updated January 23, 2025