Ejercicio Estadístico: Probabilidad en Distribución Binomial

Análisis profundo de la probabilidad de falsos positivos en cuentas de ventas a crédito

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Aspectos Destacados

Enfoque Binomial: Se utiliza la distribución binomial para modelar el número de falsos positivos en la muestra.
Cálculo Detallado: Se evalúan las probabilidades desde 0 hasta 7 falsos positivos, ya que 72% de 10 equivale a 7.2, redondeado a 7.
Resultado Aproximado: La probabilidad de que a lo sumo el 72% de las cuentas conserve la cualidad de falso positivo es baja, debido a la alta tasa de falsos positivos (90%).

Introducción y Contexto

El ejercicio presentado aborda un problema estadístico donde, de un total de 400 ventas a crédito, se ha identificado que 360 presentan la característica de falsos positivos a cobrar. Previendo la implementación de nuevas estrategias que podrían reducir este porcentaje, se desea evaluar, con posterioridad, la probabilidad de que al seleccionar 10 cuentas de forma aleatoria, a lo sumo el 72% de estas (lo que equivale a 7 cuentas, ya que 72% de 10 es 7.2 y no se puede tener una fracción de cuenta) sigan manifestando la cualidad a revertir.

Este problema se resuelve mediante la distribución binomial, ya que cada cuenta elegida puede considerarse como una realización o ensayo que tiene dos resultados posibles: o es un falso positivo (éxito en términos del experimento) o no lo es. El número total de ensayos es 10, y la probabilidad de éxito (es decir, que una cuenta sea falsa positiva) se mantiene en 0.9, de acuerdo con los datos iniciales donde 360 de 400 son falsos positivos.

Desarrollo del Problema

Definición del Modelo

Para modelar la situación, definimos la variable aleatoria X como el número de cuentas que son falsos positivos en la muestra de 10 cuentas. Dado que cada cuenta tiene una probabilidad de 0.9 de ser falso positivo, X sigue una distribución binomial, la cual se expresa de la siguiente manera:

Función de Probabilidad Binomial

La función de probabilidad para una variable que sigue la distribución binomial se define como:

\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \)

donde:

\( n = 10 \) (número de cuentas seleccionadas).
\( p = 0.9 \) (la probabilidad de que una cuenta sea falso positivo).
\( 1-p = 0.1 \) (la probabilidad de que una cuenta no sea falso positivo).

En este caso, se requiere calcular la probabilidad de que a lo sumo el 72% de las cuentas (es decir, 7 cuentas o menos) sigan siendo falsos positivos. Esto se traduce en la suma de las probabilidades de que X tome valores desde 0 hasta 7:

\( P(X \leq 7) = \sum_{k=0}^{7} \binom{10}{k} (0.9)^k (0.1)^{10-k} \)

Cálculo Detallado de las Probabilidades

Cálculo Paso a Paso

A continuación se detallan los cálculos para cada valor de \( k \) desde 0 hasta 7:

Para \( k = 0 \):

\( P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.9)^0 (0.1)^{10} = 1 \times 1 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-10} \)

Para \( k = 1 \):

\( P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.9)^1 (0.1)^9 = 10 \times 0.9 \times 10^{-9} = 9 \times 10^{-9} \)

Para \( k = 2 \):

\( P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.9)^2 (0.1)^8 \)

Donde:

\( \binom{10}{2} = 45 \)
\( (0.9)^2 = 0.81 \)
\( (0.1)^8 = 10^{-8} \)

Entonces, \( P(X = 2) \approx 45 \times 0.81 \times 10^{-8} = 36.45 \times 10^{-8} = 3.645 \times 10^{-7} \)

Para \( k = 3 \):

\( P(X = 3) = \binom{10}{3} (0.9)^3 (0.1)^7 \)

Donde:

\( \binom{10}{3} = 120 \)
\( (0.9)^3 \approx 0.729 \)
\( (0.1)^7 = 10^{-7} \)

Por lo tanto, \( P(X = 3) \approx 120 \times 0.729 \times 10^{-7} \approx 8.748 \times 10^{-6} \)

Para \( k = 4 \):

\( P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.9)^4 (0.1)^6 \)

Donde:

\( \binom{10}{4} = 210 \)
\( (0.9)^4 \approx 0.6561 \)
\( (0.1)^6 = 10^{-6} \)

Así, \( P(X = 4) \approx 210 \times 0.6561 \times 10^{-6} \approx 1.37781 \times 10^{-4} \)

Para \( k = 5 \):

\( P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.9)^5 (0.1)^5 \)

Donde:

\( \binom{10}{5} = 252 \)
\( (0.9)^5 \approx 0.59049 \)
\( (0.1)^5 = 10^{-5} \)

De esta forma, \( P(X = 5) \approx 252 \times 0.59049 \times 10^{-5} \approx 0.001487 \)

Para \( k = 6 \):

\( P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.9)^6 (0.1)^4 \)

Donde:

\( \binom{10}{6} = 210 \)
\( (0.9)^6 \approx 0.531441 \)
\( (0.1)^4 = 10^{-4} \)

Calculando, \( P(X = 6) \approx 210 \times 0.531441 \times 10^{-4} \approx 0.011160 \)

Para \( k = 7 \):

\( P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.9)^7 (0.1)^3 \)

Donde:

\( \binom{10}{7} = 120 \)
\( (0.9)^7 \approx 0.478297 \)
\( (0.1)^3 = 10^{-3} \)

Por lo tanto, \( P(X = 7) \approx 120 \times 0.478297 \times 10^{-3} \approx 0.057396 \)

Tabla Resumen de Cálculos

k	\( \binom{10}{k} \)	\( (0.9)^k \)	\( (0.1)^{10-k} \)	Probabilidad \( P(X=k) \)
0	1	1	\( 10^{-10} \)	\( 1.0 \times 10^{-10} \)
1	10	0.9	\( 10^{-9} \)	\( 9.0 \times 10^{-9} \)
2	45	0.81	\( 10^{-8} \)	\( 3.645 \times 10^{-7} \)
3	120	0.729	\( 10^{-7} \)	\( 8.748 \times 10^{-6} \)
4	210	0.6561	\( 10^{-6} \)	\( 1.37781 \times 10^{-4} \)
5	252	0.59049	\( 10^{-5} \)	0.001487
6	210	0.531441	\( 10^{-4} \)	0.011160
7	120	0.478297	\( 10^{-3} \)	0.057396

Sumando los valores de \( k \) desde 0 hasta 7:

\( P(X \leq 7) \approx 1 \times 10^{-10} + 9 \times 10^{-9} + 3.645 \times 10^{-7} + 8.748 \times 10^{-6} + 1.37781 \times 10^{-4} + 0.001487 + 0.011160 + 0.057396 \)

Esta suma resulta en aproximadamente: 0.07019

Es decir, existe aproximadamente un 7.02% de probabilidad de que, al seleccionar 10 cuentas al azar, a lo sumo el 72% (es decir, 7 cuentas o menos) sean falsos positivos.

Interpretación y Consideraciones

Análisis de los Resultados

La probabilidad calculada de aproximadamente 7.02% indica que, pese a la implementación de nuevas estrategias, si la proporción subyacente de falsos positivos no varía (siguiendo siendo 90%), es muy poco probable que en una muestra pequeña de 10 cuentas se observe que a lo sumo el 72% sean falsos positivos. Esto se debe a que la expectativa en una distribución binomial con \( n=10 \) y \( p=0.9 \) es:

\( E[X] = n \times p = 10 \times 0.9 = 9 \)

Es decir, en promedio se espera que 9 de las 10 cuentas sean falsos positivos. Por ello, obtener 7 o menos, que es significativamente menor a la expectativa, tiene una probabilidad baja, lo que se refleja en el resultado obtenido.

Consideraciones Adicionales

Impacto de las Nuevas Estrategias

Es importante tener en cuenta que el análisis presentado supone que la probabilidad de que una cuenta sea un falso positivo permanece inalterada en 0.9. Sin embargo, en la práctica, la implementación de nuevas estrategias tiene el potencial de alterar esta probabilidad. Si estas estrategias reducen efectivamente la tasa de falsos positivos, se debería recalcular la probabilidad utilizando el nuevo valor de \( p \). En ese escenario, la distribución binomial se adaptaría a:

\( X \sim B(n, p_{nuevo}) \)

y se procedería de la misma manera para determinar \( P(X \leq 7) \) con el valor actualizado.

Pequeño Tamaño de la Muestra

La muestra elegida de 10 cuentas es relativamente pequeña, lo cual puede introducir una mayor variabilidad en las observaciones respecto al comportamiento poblacional real. Para una estimación más robusta de la efectividad de las estrategias, sería recomendable analizar muestras de mayor tamaño o utilizar técnicas de remuestreo (como bootstrap) que brinden mayor confiabilidad a las inferencias estadísticas.

Conclusión

En resumen, el ejercicio se ha abordado mediante la aplicación de la distribución binomial, que es adecuada para modelar eventos independientes con dos posibles resultados. Con los parámetros dados, \( n=10 \) y \( p=0.9 \), se calculó la probabilidad de obtener a lo sumo 7 cuentas falsos positivos, lo cual equivale a un 72% del total seleccionado. Los cálculos detallados muestran que esta probabilidad es aproximadamente 0.07019, o un 7.02%.

Este resultado resalta la improbabilidad de obtener una reducción significativa en la tasa de falsos positivos simplemente al seleccionar una muestra pequeña, si la probabilidad subyacente no cambia. Por ello, para evaluar la eficacia de nuevas estrategias, es fundamental considerar no solo la muestra, sino también la modificación en la tasa de falsos positivos que las estrategias puedan generar.