Mystère Résolu : Découvrez la Longueur Secrète du Champ de Votre Père !
Un guide pas à pas pour calculer la dimension manquante de son terrain rectangulaire, entouré d'arbres.
Les Points Essentiels à Retenir
- Périmètre Déterminé : Le champ est entouré de 54 arbres espacés de 5 mètres chacun, ce qui nous permet de calculer un périmètre total de 270 mètres.
- Formule Géométrique : La clé du calcul réside dans la formule du périmètre d'un rectangle : \( P = 2 \times (\text{Longueur} + \text{Largeur}) \).
- Longueur Révélée : En utilisant les informations fournies et la formule, la longueur du champ rectangulaire de votre père est de 90 mètres.
Introduction au Défi Géométrique
Votre père possède un champ rectangulaire dont la largeur est connue (45 mètres). Ce champ a la particularité d'être entièrement entouré de 54 arbres, avec un espacement régulier de 5 mètres entre chaque arbre. Votre objectif est de l'aider à déterminer la longueur de ce champ. C'est un problème classique de géométrie et de logique que nous allons résoudre ensemble étape par étape.
Comprendre les Données du Problème
Informations Clés Fournies
Avant de commencer les calculs, listons les données dont nous disposons :
- Forme du champ : Rectangulaire
- Largeur du champ (l) : 45 mètres
- Nombre total d'arbres (N) : 54 arbres
- Distance entre chaque arbre (d) : 5 mètres
- Les arbres entourent complètement le champ.
Disposition des Arbres et Calcul du Périmètre
Puisque les arbres sont plantés tout autour du champ à intervalles réguliers, ils délimitent le périmètre du rectangle. Le fait que les 54 arbres soient espacés de 5 mètres chacun signifie que le périmètre total du champ peut être trouvé en multipliant le nombre d'arbres par la distance qui les sépare. Cette méthode est valable car les arbres forment une boucle fermée autour du champ, où le nombre d'arbres est égal au nombre d'intervalles.
Différentes configurations de plantation d'arbres. Dans notre cas, les arbres sont régulièrement espacés le long du périmètre du champ rectangulaire.
Calcul Étape par Étape de la Longueur du Champ
Nous allons maintenant procéder au calcul de la longueur en trois étapes simples.
Étape 1: Calcul du Périmètre Total du Champ (P)
Le périmètre total est la distance totale parcourue si l'on fait le tour complet du champ, le long de la ligne des arbres.
La formule est :
\[ P = \text{Nombre d'arbres} \times \text{Distance entre les arbres} \]En appliquant les valeurs données :
\[ P = 54 \times 5 \text{ mètres} \] \[ P = 270 \text{ mètres} \]Le périmètre du champ de votre père est donc de 270 mètres.
Étape 2: Application de la Formule du Périmètre d'un Rectangle
La formule générale du périmètre (P) d'un rectangle en fonction de sa longueur (L) et de sa largeur (l) est :
\[ P = 2 \times (L + l) \]Nous connaissons :
- Le périmètre (P) = 270 mètres
- La largeur (l) = 45 mètres
Nous pouvons substituer ces valeurs dans la formule :
\[ 270 = 2 \times (L + 45) \]Étape 3: Résolution pour Trouver la Longueur (L)
Maintenant, nous devons résoudre l'équation pour trouver L (la longueur) :
D'abord, divisons les deux côtés de l'équation par 2 :
\[ \frac{270}{2} = L + 45 \] \[ 135 = L + 45 \]Ensuite, soustrayons la largeur (45 mètres) des deux côtés pour isoler L :
\[ L = 135 - 45 \] \[ L = 90 \text{ mètres} \]La longueur du champ rectangulaire de votre père est de 90 mètres.
Vérification du Résultat
Pour nous assurer de l'exactitude de notre calcul, vérifions si un champ de 90m de longueur et 45m de largeur, avec des arbres espacés de 5m, aurait bien 54 arbres :
- Nombre d'intervalles sur les deux longueurs : Chaque longueur est de 90m. Le nombre d'intervalles de 5m par longueur est \( \frac{90}{5} = 18 \). Pour les deux longueurs : \( 2 \times 18 = 36 \) intervalles.
- Nombre d'intervalles sur les deux largeurs : Chaque largeur est de 45m. Le nombre d'intervalles de 5m par largeur est \( \frac{45}{5} = 9 \). Pour les deux largeurs : \( 2 \times 9 = 18 \) intervalles.
- Nombre total d'intervalles (et donc d'arbres) : \( 36 + 18 = 54 \) arbres.
Cette vérification confirme que notre calcul de 90 mètres pour la longueur est correct.
Tableau Récapitulatif des Dimensions du Champ
Voici un résumé des dimensions et caractéristiques du champ de votre père :
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Largeur (l) | 45 mètres |
| Longueur (L) | 90 mètres |
| Périmètre (P) | 270 mètres |
| Nombre total d'arbres | 54 |
| Espacement entre les arbres | 5 mètres |
| Aire du champ (L × l) | \( 90 \text{ m} \times 45 \text{ m} = 4050 \text{ m}^2 \) |
Analyse Visuelle des Caractéristiques du Champ
Le diagramme radar ci-dessous compare certaines caractéristiques clés du champ de votre père avec celles d'un champ carré théorique ayant un périmètre similaire. Cela permet de visualiser les proportions et la distribution des dimensions.
Les caractéristiques analysées sont :
- Ratio L/l : Rapport entre la longueur et la largeur.
- %Périmètre (Largeurs) : Pourcentage du périmètre total contribué par les deux largeurs.
- %Périmètre (Longueurs) : Pourcentage du périmètre total contribué par les deux longueurs.
- Arbres/côté (moy.) : Nombre moyen d'arbres par côté (Périmètre / Espacement / 4).
- Espacement (m) : Distance entre les arbres.
Carte Mentale: Synthèse du Calcul
Cette carte mentale résume visuellement le processus que nous avons suivi pour déterminer la longueur du champ. Elle décompose le problème en ses éléments constitutifs, des données initiales à la solution finale et sa vérification.
Vidéo Explicative: Calcul des Dimensions d'un Rectangle
Pour mieux comprendre les concepts de périmètre et de calcul des dimensions d'un rectangle, voici une vidéo pédagogique qui explique ces notions. Bien qu'elle ne traite pas spécifiquement de la plantation d'arbres, les principes mathématiques de base sont les mêmes.
Cette vidéo explique comment calculer le périmètre et une dimension d'un rectangle, des concepts clés pour résoudre notre problème.
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Pourquoi le nombre d'arbres est-il égal au nombre d'intervalles pour calculer le périmètre ?
Pour un périmètre fermé où les éléments (comme des arbres) sont placés à intervalles réguliers, y compris aux angles, chaque arbre marque la fin d'un intervalle et le début du suivant. Si vous imaginez parcourir le périmètre en partant d'un arbre et en revenant à celui-ci, vous aurez traversé autant d'intervalles qu'il y a d'arbres. Ainsi, le nombre total d'arbres multiplié par la longueur de chaque intervalle donne la longueur totale du périmètre.
Que se passerait-il si la disposition des arbres était différente ?
Si la disposition des arbres était différente – par exemple, s'ils n'étaient pas plantés aux coins, ou si l'énoncé précisait un arrangement spécifique (comme un arbre au centre de chaque côté mais pas aux coins) – le calcul pourrait changer. L'énoncé "entouré de 54 arbres distants de 5 m les uns des autres" suggère fortement une disposition continue et uniforme le long du périmètre, où chaque arbre compte pour un intervalle. Des problèmes plus complexes peuvent spécifier des conditions différentes qui nécessiteraient d'ajuster la formule (par exemple, nombre d'arbres = (Périmètre / Espacement) si les coins sont traités différemment, ou si ce n'est pas une boucle fermée). Dans notre cas, l'interprétation standard pour un périmètre fermé est P = N × d.
Cette méthode de calcul du périmètre est-elle toujours applicable ?
Oui, la méthode consistant à calculer le périmètre en multipliant le nombre d'objets par l'espacement entre eux (P = N × d) est applicable lorsque ces objets sont disposés à intervalles égaux pour former une boucle fermée (comme le périmètre d'un champ, d'un jardin, etc.). Cela s'applique aux polygones réguliers et irréguliers tant que l'espacement est constant et que les objets marquent ces intervalles sur tout le contour.
Pour Aller Plus Loin
Si ce type de calcul vous intéresse, voici quelques pistes de réflexion ou de recherche supplémentaires :
- Comment calculer l'aire d'un champ rectangulaire connaissant sa longueur et sa largeur ?
- Quelles sont les implications de l'espacement des arbres pour la croissance des cultures dans un champ ?
- Comment optimiser le nombre d'arbres à planter autour d'un terrain pour créer une clôture naturelle ?
- Existe-t-il d'autres méthodes pour déterminer les dimensions d'un terrain agricole sans mesures directes ?
Références
Les informations et méthodes utilisées dans cette explication s'appuient sur des principes mathématiques standards et des discussions trouvées dans les ressources suivantes :
Last updated May 12, 2025