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Analisi del Campo Elettrico Generato da Due Cariche Positive Puntiformi

Determinazione del luogo e del modulo del campo elettrico perpendicolare alla congiungente delle cariche

due cariche elettriche astratte

Punti Chiave

  • Localizzazione dei Punti: I punti in cui il campo elettrico risultante è perpendicolare alla congiungente delle due cariche si trovano sull'asse y.
  • Calcolo del Modulo del Campo: Il modulo del campo elettrico in funzione della distanza y dal punto mediano è dato dalla formula \( E(y) = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} \).
  • Applicazione della Legge di Coulomb: La sovrapposizione dei campi elettrici generati da ciascuna carica è essenziale per determinare il campo totale.

Introduzione al Problema

Consideriamo due cariche elettriche positive puntiformi, ciascuna di valore \( q \), poste lungo l'asse x a una distanza di \( 2a \) l'una dall'altra. L'obiettivo è determinare i punti nello spazio in cui il campo elettrico risultante è perpendicolare alla linea che congiunge le due cariche e calcolare il modulo di tale campo in funzione della distanza \( y \) dal punto mediano del segmento che unisce le cariche.

Configurazione del Sistema

Sistema di Riferimento

Per semplificare l'analisi, definiamo un sistema di coordinate cartesiano in cui:

  • L'asse x coincide con la retta che unisce le due cariche.
  • L'origine del sistema di coordinate si trova nel punto medio tra le due cariche.
  • Le due cariche sono posizionate ai punti \( (-a, 0) \) e \( (a, 0) \).

Campo Elettrico Generato dalle Cariche

Il campo elettrico generato da una singola carica puntiforme è descritto dalla legge di Coulomb:

$$ \mathbf{E} = k \frac{q}{r^2} \hat{r} $$

dove:

  • \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \) è la costante di Coulomb.
  • \( q \) è il valore della carica.
  • \( r \) è la distanza tra la carica e il punto di interesse.
  • \( \hat{r} \) è il versore lungo la direzione che unisce la carica al punto considerato.

Sovrapposizione dei Campi Elettrici

Il campo elettrico totale in un punto \( P(x, y) \) è la somma vettoriale dei campi generati dalle due cariche:

$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 $$

dove:

  • \( \mathbf{E}_1 \) è il campo elettrico generato dalla carica situata a \( (-a, 0) \).
  • \( \mathbf{E}_2 \) è il campo elettrico generato dalla carica situata a \( (a, 0) \).

Determinazione dei Punti di Perpendicolarità

Condizione di Perpendicolarità

Affinché il campo elettrico totale sia perpendicolare alla linea che congiunge le due cariche (ossia all'asse x), la componente del campo elettrico lungo l'asse x deve essere nulla. Matematicamente, questa condizione si esprime come:

$$ E_x = E_{1x} + E_{2x} = 0 $$

Calcolo delle Componenti del Campo Elettrico

Consideriamo un punto generico \( P(x, y) \) nel piano. Le distanze dalle cariche al punto \( P \) sono:

$$ r_1 = \sqrt{(x + a)^2 + y^2}, \quad r_2 = \sqrt{(x - a)^2 + y^2} $$

Le componenti x dei campi elettrici generati dalle due cariche sono:

$$ E_{1x} = \frac{k q (x + a)}{r_1^3}, \quad E_{2x} = \frac{k q (x - a)}{r_2^3} $$

Equazione della Condizione

Sostituendo le componenti nei quali il campo elettrico totale deve avere componente x nulla:

$$ \frac{k q (x + a)}{r_1^3} + \frac{k q (x - a)}{r_2^3} = 0 $$

Dividendo entrambi i lati per \( k q \), otteniamo:

$$ \frac{x + a}{r_1^3} + \frac{x - a}{r_2^3} = 0 $$

Soluzione della Condizione

Per risolvere l'equazione, osserviamo che la simmetria del problema suggerisce che i punti di perpendicolarità si trovano sull'asse y (ossia per \( x = 0 \)). Verifichiamo questa ipotesi:

  • Imponiamo \( x = 0 \).
  • Le distanze si semplificano a \( r_1 = r_2 = \sqrt{a^2 + y^2} \).

Sostituendo nella condizione:

$$ \frac{0 + a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} + \frac{0 - a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} = 0 $$

Che si semplifica a:

$$ \frac{a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} - \frac{a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} = 0 $$

Questa uguaglianza è verificata per ogni valore di \( y \), confermando che i punti di perpendicolarità si trovano sull'asse y.


Calcolo del Modulo del Campo Elettrico

Campo Totale sull'Asse y

Sull'asse y (\( x = 0 \)), le componenti y dei campi elettrici generati dalle due cariche si sommano:

$$ E_y = E_{1y} + E_{2y} = 2E_{1y} $$

Dove:

$$ E_{1y} = \frac{k q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$

Espressione del Modulo del Campo Elettrico

Quindi, il modulo del campo elettrico totale lungo l'asse y è:

$$ |\mathbf{E}| = E_y = \frac{2kq y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$

Interpretazione della Formula

La formula indica che il campo elettrico lungo l'asse y dipende direttamente dalla distanza \( y \) dal punto medio e dalla distanza \( a \) tra le cariche. Nota che il campo cresce proporzionalmente a \( y \) per distanze piccole e decresce per distanze grandi a causa del termine denominatore.

Diagramma del Campo Elettrico

Posizione \( y \) Modulo del Campo \( E(y) \)
\( y = 0 \) \( E = 0 \)
\( y = a \) \( E = \frac{2kq a}{(a^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{2kq a}{(2a^2)^{3/2}} = \frac{2kq a}{2^{3/2} a^3} = \frac{kq}{\sqrt{2} a^2} \)
\( y = 2a \) \( E = \frac{2kq \cdot 2a}{(a^2 + 4a^2)^{3/2}} = \frac{4kq a}{(5a^2)^{3/2}} = \frac{4kq}{5^{3/2} a^2} \)

Derivazione Matematica Dettagliata

Utilizzo del Principio di Sovrapposizione

Il principio di sovrapposizione afferma che il campo elettrico totale in un punto è la somma vettoriale di tutti i campi elettrici generati dalle singole cariche presenti nel sistema.

Espressione Vettoriale dei Campi Elettrici

Per ciascuna carica, il campo elettrico in un punto \( P(x, y) \) è diretto lungo la linea che congiunge la carica e il punto stesso. Questo significa che le componenti del campo elettrico si possono scomporre nelle direzioni x e y.

Condizione di Perpendicolarità

Per garantire che il campo elettrico risultante sia perpendicolare all'asse x, imponiamo che la componente x del campo totale sia nulla:

$$ E_x = E_{1x} + E_{2x} = 0 $$

Dove:

$$ E_{1x} = \frac{k q (x + a)}{r_1^3}, \quad E_{2x} = \frac{k q (x - a)}{r_2^3} $$

Derivazione della Formula per \( E(y) \)

Risolveremo l'equazione per determinare \( y \) in funzione del campo:

  • Imponiamo \( x = 0 \) per la simmetria del problema.
  • Le distanze dalle cariche al punto P diventano uguali: \( r_1 = r_2 = \sqrt{a^2 + y^2} \).
  • La componente y del campo elettrico generato da ciascuna carica è:
  • $$ E_{1y} = E_{2y} = \frac{k q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$
  • Il campo elettrico totale lungo y è:
  • $$ E_y = E_{1y} + E_{2y} = 2 \cdot \frac{k q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$

Interpretazioni Fisiche

Il campo elettrico risultante lungo l'asse y manifesta una dipendenza complessa dal parametro \( y \), che determina come il campo varia a seconda della posizione relativa al punto medio delle cariche. Per \( y = 0 \), il campo è nullo per simmetria, mentre per \( y \) grandi rispetto ad \( a \), il campo diminuisce come \( 1/y^2 \).


Conclusione

Abbiamo determinato che i punti nello spazio in cui il campo elettrico generato da due cariche positive puntiformi è perpendicolare alla linea che le congiunge si trovano sull'asse y, ossia per \( x = 0 \). Inoltre, abbiamo derivato il modulo del campo elettrico in funzione della distanza \( y \) dal punto mediano, ottenendo la formula:

$$ E(y) = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$

Questa analisi evidenzia l'importanza della sovrapposizione dei campi elettrici e della simmetria nel risolvere problemi di elettrostatica complessi.


Riferimenti Utili

  1. Principio di sovrapposizione dei campi elettrici - YouMath
  2. Campo elettrico di alcune particolari distribuzioni di cariche - WebTutor di Matematica
  3. Il campo elettrico generato da due cariche - Aula di Scienze
  4. Campo elettrico - Chimica Online

Last updated January 21, 2025
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