Consideriamo due cariche elettriche positive puntiformi, ciascuna di valore \( q \), poste lungo l'asse x a una distanza di \( 2a \) l'una dall'altra. L'obiettivo è determinare i punti nello spazio in cui il campo elettrico risultante è perpendicolare alla linea che congiunge le due cariche e calcolare il modulo di tale campo in funzione della distanza \( y \) dal punto mediano del segmento che unisce le cariche.
Per semplificare l'analisi, definiamo un sistema di coordinate cartesiano in cui:
Il campo elettrico generato da una singola carica puntiforme è descritto dalla legge di Coulomb:
$$ \mathbf{E} = k \frac{q}{r^2} \hat{r} $$dove:
Il campo elettrico totale in un punto \( P(x, y) \) è la somma vettoriale dei campi generati dalle due cariche:
$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 $$dove:
Affinché il campo elettrico totale sia perpendicolare alla linea che congiunge le due cariche (ossia all'asse x), la componente del campo elettrico lungo l'asse x deve essere nulla. Matematicamente, questa condizione si esprime come:
$$ E_x = E_{1x} + E_{2x} = 0 $$Consideriamo un punto generico \( P(x, y) \) nel piano. Le distanze dalle cariche al punto \( P \) sono:
$$ r_1 = \sqrt{(x + a)^2 + y^2}, \quad r_2 = \sqrt{(x - a)^2 + y^2} $$Le componenti x dei campi elettrici generati dalle due cariche sono:
$$ E_{1x} = \frac{k q (x + a)}{r_1^3}, \quad E_{2x} = \frac{k q (x - a)}{r_2^3} $$Sostituendo le componenti nei quali il campo elettrico totale deve avere componente x nulla:
$$ \frac{k q (x + a)}{r_1^3} + \frac{k q (x - a)}{r_2^3} = 0 $$Dividendo entrambi i lati per \( k q \), otteniamo:
$$ \frac{x + a}{r_1^3} + \frac{x - a}{r_2^3} = 0 $$Per risolvere l'equazione, osserviamo che la simmetria del problema suggerisce che i punti di perpendicolarità si trovano sull'asse y (ossia per \( x = 0 \)). Verifichiamo questa ipotesi:
Sostituendo nella condizione:
$$ \frac{0 + a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} + \frac{0 - a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} = 0 $$Che si semplifica a:
$$ \frac{a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} - \frac{a}{(a^2 + y^2)^{3/2}} = 0 $$Questa uguaglianza è verificata per ogni valore di \( y \), confermando che i punti di perpendicolarità si trovano sull'asse y.
Sull'asse y (\( x = 0 \)), le componenti y dei campi elettrici generati dalle due cariche si sommano:
$$ E_y = E_{1y} + E_{2y} = 2E_{1y} $$Dove:
$$ E_{1y} = \frac{k q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$Quindi, il modulo del campo elettrico totale lungo l'asse y è:
$$ |\mathbf{E}| = E_y = \frac{2kq y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$La formula indica che il campo elettrico lungo l'asse y dipende direttamente dalla distanza \( y \) dal punto medio e dalla distanza \( a \) tra le cariche. Nota che il campo cresce proporzionalmente a \( y \) per distanze piccole e decresce per distanze grandi a causa del termine denominatore.
Posizione \( y \) | Modulo del Campo \( E(y) \) |
---|---|
\( y = 0 \) | \( E = 0 \) |
\( y = a \) | \( E = \frac{2kq a}{(a^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{2kq a}{(2a^2)^{3/2}} = \frac{2kq a}{2^{3/2} a^3} = \frac{kq}{\sqrt{2} a^2} \) |
\( y = 2a \) | \( E = \frac{2kq \cdot 2a}{(a^2 + 4a^2)^{3/2}} = \frac{4kq a}{(5a^2)^{3/2}} = \frac{4kq}{5^{3/2} a^2} \) |
Il principio di sovrapposizione afferma che il campo elettrico totale in un punto è la somma vettoriale di tutti i campi elettrici generati dalle singole cariche presenti nel sistema.
Per ciascuna carica, il campo elettrico in un punto \( P(x, y) \) è diretto lungo la linea che congiunge la carica e il punto stesso. Questo significa che le componenti del campo elettrico si possono scomporre nelle direzioni x e y.
Per garantire che il campo elettrico risultante sia perpendicolare all'asse x, imponiamo che la componente x del campo totale sia nulla:
$$ E_x = E_{1x} + E_{2x} = 0 $$Dove:
$$ E_{1x} = \frac{k q (x + a)}{r_1^3}, \quad E_{2x} = \frac{k q (x - a)}{r_2^3} $$Risolveremo l'equazione per determinare \( y \) in funzione del campo:
Il campo elettrico risultante lungo l'asse y manifesta una dipendenza complessa dal parametro \( y \), che determina come il campo varia a seconda della posizione relativa al punto medio delle cariche. Per \( y = 0 \), il campo è nullo per simmetria, mentre per \( y \) grandi rispetto ad \( a \), il campo diminuisce come \( 1/y^2 \).
Abbiamo determinato che i punti nello spazio in cui il campo elettrico generato da due cariche positive puntiformi è perpendicolare alla linea che le congiunge si trovano sull'asse y, ossia per \( x = 0 \). Inoltre, abbiamo derivato il modulo del campo elettrico in funzione della distanza \( y \) dal punto mediano, ottenendo la formula:
$$ E(y) = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{q y}{(a^2 + y^2)^{3/2}} $$Questa analisi evidenzia l'importanza della sovrapposizione dei campi elettrici e della simmetria nel risolvere problemi di elettrostatica complessi.