Análisis de Deflexión en Vigas de Madera Simplemente Apoyadas

El cálculo de la deflexión en vigas es un aspecto fundamental en la ingeniería estructural, asegurando que los elementos constructivos soporten las cargas aplicadas sin deformaciones excesivas que puedan comprometer la seguridad o funcionalidad de la estructura. En el caso de una viga de madera simplemente apoyada con un soporte de rodillo y otro de rótula, la comprensión de las propiedades del material y la aplicación de las fórmulas adecuadas son cruciales.

Aspectos Clave del Análisis de Deflexión

Resistencia de la Madera: La capacidad de una viga de madera para resistir cargas y limitar la deflexión depende en gran medida de su clase resistente y módulo de elasticidad.
Tipos de Apoyos: La configuración de apoyos (rótula y rodillo) define las restricciones de movimiento y, por lo tanto, influye en la distribución de fuerzas y momentos flectores a lo largo de la viga.
Cálculo de Deflexión: La deflexión máxima en una viga simplemente apoyada con carga uniforme se calcula utilizando el módulo de elasticidad de la madera, el momento de inercia de la sección transversal de la viga y la carga aplicada.

Propiedades de la Madera y su Relevancia Estructural

La madera es un material con excelentes propiedades estructurales, con una resistencia a la compresión y a la tracción comparable a la del acero en ciertos aspectos. Sin embargo, su resistencia a la flexión y al corte es generalmente menor. La resistencia de la madera varía significativamente según la especie y su clasificación resistente. Estas clases, como la GL24 para la madera laminada, indican valores determinados de flexión, tracción, compresión y módulo de elasticidad. El módulo de elasticidad (E) es un parámetro clave para calcular la deflexión, ya que representa la rigidez del material.

Clases Resistentes y Módulo de Elasticidad

Las clases resistentes de la madera, como se definen en normativas como la UNE EN 1194 para la madera laminada, proporcionan valores característicos de sus propiedades mecánicas. El módulo de elasticidad, expresado en N/mm² o GPa en el Sistema Internacional (SI), es fundamental para determinar cuánto se deformará una viga bajo carga. Los valores típicos del módulo de elasticidad para madera estructural varían, y la elección de la clase resistente adecuada es vital para un diseño seguro.

La resistencia a compresión de la madera puede variar entre 16 y 23 N/mm², mientras que la resistencia en dirección perpendicular a la fibra es considerablemente menor, representando aproximadamente una cuarta parte de la resistencia paralela a la fibra. Esta anisotropía debe ser considerada en el diseño estructural.

Tipos de Apoyos y su Influencia en la Viga

En una viga simplemente apoyada, los apoyos son cruciales para determinar su comportamiento estructural. La configuración con un soporte de rodillo y uno de rótula es común y permite movimientos en una dirección mientras restringe otros, lo que simplifica el análisis estático de la viga.

Soporte de Rótula

Un soporte de rótula (o apoyo fijo) restringe el movimiento en direcciones horizontal y vertical, pero permite la rotación. Este tipo de apoyo proporciona dos reacciones, una horizontal y una vertical.

Representación esquemática de un soporte de rótula.

Soporte de Rodillo

Un soporte de rodillo (o apoyo móvil) restringe el movimiento en una dirección (generalmente vertical) pero permite el movimiento en la dirección perpendicular y la rotación. Este tipo de apoyo proporciona una única reacción perpendicular a la superficie de apoyo.

La combinación de un soporte de rótula y uno de rodillo en una viga simplemente apoyada asegura que la estructura sea estáticamente determinada, lo que facilita el cálculo de las fuerzas de reacción y los diagramas de esfuerzo cortante y momento flector.

Dimensiones de la Viga y Propiedades de la Sección Transversal

Para una viga de madera con dimensiones de 60 cm de longitud y una sección transversal de 3 cm x 2 cm, es fundamental calcular el momento de inercia de la sección. El momento de inercia es una propiedad geométrica que indica la resistencia de una sección a la flexión. Para una sección rectangular, el momento de inercia con respecto al eje neutro (que pasa por el centroide de la sección) se calcula mediante la fórmula:

\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Donde \(b\) es el ancho de la sección (3 cm) y \(h\) es la altura de la sección (2 cm).

En el Sistema Internacional, las dimensiones deben estar en metros. Por lo tanto, \(b = 0.03 \, \text{m}\) y \(h = 0.02 \, \text{m}\).

\[ I = \frac{0.03 \, \text{m} \cdot (0.02 \, \text{m})^3}{12} = \frac{0.03 \, \text{m} \cdot 0.000008 \, \text{m}^3}{12} = \frac{0.00000024 \, \text{m}^4}{12} = 0.00000002 \, \text{m}^4 \]

Por lo tanto, el momento de inercia de la sección transversal es \(2 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\).

Cálculo de la Deflexión en Vigas Simplemente Apoyadas

La deflexión en una viga simplemente apoyada depende del tipo de carga aplicada. Los casos más comunes son la carga puntual en el centro y la carga uniformemente distribuida a lo largo de la viga. La deflexión máxima ocurre generalmente en el punto donde el momento flector es máximo.

Para una viga simplemente apoyada de longitud \(L\) con una carga uniformemente distribuida \(q\) (en fuerza por unidad de longitud), la deflexión máxima (\(\delta_{max}\)) se produce en el centro de la viga y se calcula con la siguiente fórmula:

\[ \delta_{max} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \]

Donde:

\(q\) es la carga uniformemente distribuida en N/m.
\(L\) es la longitud de la viga en metros (0.60 m).
\(E\) es el módulo de elasticidad de la madera en Pa (\(\text{N/m}^2\)).
\(I\) es el momento de inercia de la sección transversal en m⁴ (\(2 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\)).

Es crucial obtener el valor del módulo de elasticidad (\(E\)) para el tipo de madera específico y su clase resistente en unidades del Sistema Internacional. Los valores típicos para madera estructural suelen estar en el rango de GPa (1 GPa = \(10^9 \, \text{Pa}\)). Por ejemplo, si consideramos un módulo de elasticidad de 10 GPa (\(10 \times 10^9 \, \text{Pa}\)), podemos calcular la deflexión para una carga dada.

Ejemplo de Cálculo con Carga Uniforme

Supongamos que la viga está sometida a una carga uniformemente distribuida de 100 N/m. Con \(L = 0.60 \, \text{m}\), \(E = 10 \times 10^9 \, \text{Pa}\) y \(I = 2 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\), la deflexión máxima sería:

\[ \delta_{max} = \frac{5 \cdot (100 \, \text{N/m}) \cdot (0.60 \, \text{m})^4}{384 \cdot (10 \times 10^9 \, \text{Pa}) \cdot (2 \times 10^{-8} \, \text{m}^4)} \] \[ \delta_{max} = \frac{5 \cdot 100 \cdot 0.1296}{384 \cdot 10^{10} \cdot 2 \times 10^{-8}} = \frac{64.8}{384 \cdot 200} = \frac{64.8}{76800} \approx 0.000844 \, \text{m} \]

La deflexión máxima sería aproximadamente 0.844 mm.

Fórmulas para Otros Tipos de Carga

Para una carga puntual \(P\) aplicada en el centro de una viga simplemente apoyada, la deflexión máxima también ocurre en el centro y se calcula con la fórmula:

\[ \delta_{max} = \frac{P \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I} \]

Donde \(P\) es la carga puntual en Newtons (N).

Consideraciones Adicionales para el Diseño

Además de la deflexión, es importante considerar otros aspectos en el diseño de vigas de madera, como la resistencia a la flexión, al corte y a la compresión. Las normativas de diseño estructural establecen límites admisibles para la deflexión, que suelen expresarse como una fracción de la luz de la viga (por ejemplo, L/240 o L/360) dependiendo del uso de la estructura.

Factores que Afectan la Resistencia de la Madera

La humedad de la madera es un factor importante que influye en su resistencia y rigidez. La madera con un contenido de humedad adecuado (generalmente entre 12% y 14%) presenta mejores propiedades mecánicas. Los nudos, la dirección de la fibra y otros defectos naturales en la madera maciza también pueden afectar su resistencia y deben ser considerados en la clasificación y el diseño.

Vigas de Madera Laminada

Las vigas de madera laminada, fabricadas uniendo láminas de madera con adhesivos, ofrecen mayor estabilidad y resistencia que las vigas de madera maciza, lo que les permite cubrir luces más grandes. Sus propiedades mecánicas están bien definidas por clases resistentes como GL24, y son una opción común en construcciones donde se requieren elementos estructurales de mayores dimensiones o con requisitos de resistencia específicos.

Este video ilustra los efectos de la deflexión en vigas de madera durante ensayos hasta el punto de ruptura, proporcionando una visualización práctica del concepto de deflexión.

Comparativa de Materiales Estructurales

Comparando la madera con otros materiales de construcción como el acero y el hormigón, cada uno presenta diferentes propiedades de resistencia. Mientras que el acero destaca por su alta resistencia a la flexión y al corte, el hormigón es conocido por su resistencia a la compresión. La madera, por su parte, ofrece una buena relación resistencia-precio y es un material ligero y sostenible.

La siguiente tabla resume algunas propiedades comparativas:

Material	Resistencia a Compresión (N/mm²)	Resistencia a Tracción (N/mm²)	Resistencia a Flexión	Resistencia a Corte
Madera (estructural)	16 - 23	Similar al acero (paralela a la fibra)	Menor que acero	Menor que acero
Acero	Limitada en compresión	2500 - 4500 kg/cm² (aprox. 245 - 440 N/mm²)	Alta	Alta
Hormigón	4 - 55 kg/cm² (aprox. 0.4 - 5.4 N/mm²)	Baja	Depende del refuerzo	Depende del refuerzo

Preguntas Frecuentes sobre Deflexión y Vigas de Madera

¿Cómo afecta la humedad a la deflexión de una viga de madera?

Un alto contenido de humedad en la madera reduce su rigidez (módulo de elasticidad), lo que resulta en una mayor deflexión bajo la misma carga. Es fundamental utilizar madera con el contenido de humedad recomendado para aplicaciones estructurales.

¿Cuál es la deflexión admisible para una viga de madera?

La deflexión admisible se especifica en las normativas de construcción y varía según el uso de la viga y el tipo de estructura. Comúnmente, se establecen límites como L/240 para evitar daños estéticos (como fisuras en acabados) y L/360 para evitar vibraciones excesivas en pisos.

¿La sección transversal de la viga influye en la deflexión?

Sí, la forma y dimensiones de la sección transversal tienen un impacto significativo en la deflexión a través del momento de inercia. Una sección con un mayor momento de inercia (generalmente una sección más alta en relación con su ancho) será más rígida y presentará menor deflexión.

¿Dónde se produce la máxima deflexión en una viga simplemente apoyada?

En una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida o con una carga puntual en el centro, la deflexión máxima se produce en el centro de la luz de la viga.

¿Existen calculadoras en línea para determinar la deflexión de vigas?

Sí, existen varias calculadoras en línea que permiten calcular la deflexión, las reacciones y los diagramas de esfuerzos para diferentes tipos de vigas y condiciones de carga, incluyendo vigas simplemente apoyadas. Estas herramientas requieren ingresar datos como las dimensiones de la viga, las propiedades del material (módulo de elasticidad) y las cargas aplicadas.