Derivación de las Ecuaciones de Movimiento para Oscilaciones Pequeñas en un Sistema de Péndulo con Muelle Horizontal

Análisis detallado del comportamiento dinámico de un péndulo con un muelle adjunto

Puntos Clave

Modelado del sistema: Utilización de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
Aplicación del Lagrangiano: Cálculo de la energía cinética y potencial para derivar las ecuaciones de movimiento.
Frecuencia Angular: Determinación de la frecuencia natural del sistema, influenciada por la constante del muelle y la posición de anexión.

Descripción del Sistema

Consideremos un sistema compuesto por un péndulo sin masa de longitud l, del cual cuelga una masa m en su extremo. Además, un muelle de constante elástica k está unido al péndulo a una altura h desde el punto de suspensión, donde 0 < h < l. Este sistema permite oscilar tanto angularmente como horizontalmente debido a la interacción entre la gravedad y la fuerza elástica del muelle.

Coordenadas Generalizadas

Definición de Variables

Para analizar el movimiento del sistema, definimos las siguientes coordenadas generalizadas:

Ángulo (θ): Desviación angular del péndulo respecto a la vertical.
Elongación del Muelle (r): Desplazamiento horizontal del muelle desde su posición de equilibrio.

Aproximaciones para Oscilaciones Pequeñas

En el caso de oscilaciones pequeñas, podemos hacer las siguientes aproximaciones:

Trigonométricas: sin(θ) ≈ θ y cos(θ) ≈ 1.
Despreciar Términos No Lineales: Se ignoran términos de orden superior en θ, simplificando las ecuaciones.

Energía Cinética del Sistema

Componentes de la Energía Cinética

La energía cinética (T) del sistema se compone de dos partes:

Movimiento Angular: Proveniente del péndulo que oscila con velocidad angular $\dot{\theta}$.
La velocidad lineal de la masa es v = l \dot{θ}, por lo que la energía cinética asociada es:
$$ T_{\theta} = \frac{1}{2} m (l \dot{θ})^2 = \frac{1}{2} m l^2 \dot{θ}^2 $$
Movimiento Horizontal: Relacionado con la elongación del muelle.
La velocidad de elongación del muelle es $\dot{r}$, y la energía cinética correspondiente es:
$$ T_r = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 $$

La energía cinética total del sistema es la suma de ambas:

$$ T = T_{\theta} + T_r = \frac{1}{2} m l^2 \dot{θ}^2 + \frac{1}{2} m \dot{r}^2 $$

Energía Potencial del Sistema

Componentes de la Energía Potencial

La energía potencial (V) del sistema también se compone de dos partes:

Energía Potencial Gravitatoria: Asociada a la posición de la masa respecto al punto más bajo del péndulo.
Para oscilaciones pequeñas, la altura es aproximadamente:
$$ h \approx \frac{1}{2} l θ^2 $$
Por lo tanto, la energía potencial gravitatoria es:
$$ V_g = m g h = \frac{1}{2} m g l θ^2 $$
Energía Potencial Elástica del Muelle: Relacionada con la deformación del muelle.
La elongación del muelle es proporcional al desplazamiento angular:
$$ r = h θ $$
Entonces, la energía potencial elástica es:
$$ V_e = \frac{1}{2} k r^2 = \frac{1}{2} k h^2 θ^2 $$

La energía potencial total es la suma de ambas contribuciones:

$$ V = V_g + V_e = \frac{1}{2} m g l θ^2 + \frac{1}{2} k h^2 θ^2 $$

Lagrangiano del Sistema

El Lagrangiano (L) se define como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial:

$$ L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{θ}^2 + \frac{1}{2} m \dot{r}^2 - \left( \frac{1}{2} m g l θ^2 + \frac{1}{2} k h^2 θ^2 \right) $$

Simplificando, obtenemos:

$$ L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{θ}^2 + \frac{1}{2} m \dot{r}^2 - \frac{1}{2} m g l θ^2 - \frac{1}{2} k h^2 θ^2 $$

Aplicación de las Ecuaciones de Lagrange

Ecuaciones de Movimiento

Para cada coordenada generalizada (θ y r), aplicamos la ecuación de Lagrange:

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $$

donde q representa cada coordenada generalizada.

Para el Ángulo θ

Calculamos las derivadas necesarias:

$$ \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} = m l^2 \dot{θ} $$ $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{θ}} \right) = m l^2 \ddot{θ} $$
$$ \frac{\partial L}{\partial θ} = - m g l θ - k h^2 θ $$

Sustituyendo en la ecuación de Lagrange:

$$ m l^2 \ddot{θ} + m g l θ + k h^2 θ = 0 $$

Dividiendo por m l²:

$$ \ddot{θ} + \left( \frac{g}{l} + \frac{k h^2}{m l^2} \right) θ = 0 $$

Para la Elongación r

Calculamos las derivadas necesarias:

$$ \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r} $$ $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) = m \ddot{r} $$
$$ \frac{\partial L}{\partial r} = -k r $$

Sustituyendo en la ecuación de Lagrange:

$$ m \ddot{r} + k r = 0 $$

Esta es una ecuación de movimiento para un oscilador armónico simple en desplazamiento horizontal.

Ecuaciones de Movimiento Finales

Ecuación para el Ángulo θ

La ecuación de movimiento para el ángulo θ es:

$$ \ddot{θ} + \omega^2 θ = 0 $$

donde la frecuencia angular ω está dada por:

$$ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{k h^2}{m l^2} $$

Ecuación para la Elongación r

La ecuación de movimiento para la elongación r es:

$$ \ddot{r} + \frac{k}{m} r = 0 $$

Sistema de Ecuaciones

El sistema completo de ecuaciones de movimiento para las oscilaciones pequeñas es:

$$ \begin{cases} \ddot{θ} + \left( \frac{g}{l} + \frac{k h^2}{m l^2} \right) θ = 0 \\ \ddot{r} + \frac{k}{m} r = 0 \end{cases} $$

Frecuencia Angular y Período de Oscilación

Frecuencia Angular del Ángulo θ

La frecuencia angular para el movimiento angular es:

$$ ω = \sqrt{ \frac{g}{l} + \frac{k h^2}{m l^2} } $$

Frecuencia Angular de la Elongación r

La frecuencia angular para el movimiento horizontal es:

$$ ω_r = \sqrt{ \frac{k}{m} } $$

Período de Oscilación

El período de oscilación T para el ángulo θ está dado por:

$$ T = \frac{2\pi}{ω} = 2\pi \sqrt{ \frac{1}{ \frac{g}{l} + \frac{k h^2}{m l^2} } } $$

Interpretación y Análisis del Sistema

Contribución de la Gravedad y el Muelle

La frecuencia angular ω del sistema está compuesta por dos términos:

Componente Gravitatoria: $\frac{g}{l}$ representa la contribución de la gravedad al movimiento del péndulo.
Componente del Muelle: $\frac{k h^2}{m l^2}$ representa la influencia del muelle horizontal en la frecuencia angular.

El muelle introduce una rigidez adicional al sistema, afectando así la frecuencia de oscilación comparado con un péndulo simple.

Desacoplamiento de los Movimientos

Las ecuaciones de movimiento muestran que el movimiento angular θ y la elongación r son procesos desacoplados en este modelo. Esto implica que las oscilaciones en θ no afectan directamente a las oscilaciones en r, y viceversa.

Limitaciones del Modelo

Es importante destacar que el modelo asume oscilaciones pequeñas, lo cual permite linearizar las ecuaciones de movimiento. Para oscilaciones de mayor amplitud, las aproximaciones utilizadas ya no serían válidas y el sistema requeriría un análisis más complejo.

Resumen y Conclusión

Hemos derivado las ecuaciones de movimiento para un sistema compuesto por un péndulo con masa y un muelle horizontal alineado a una altura h sobre el punto de suspensión. Mediante el uso de coordenadas generalizadas y la formulación del Lagrangiano, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciables que describen el comportamiento dinámico del sistema bajo la suposición de oscilaciones pequeñas.

La frecuencia angular del sistema está influenciada tanto por la gravedad como por la constante elástica del muelle, lo que demuestra cómo las fuerzas gravitatoria y elástica interactúan para determinar el comportamiento oscilatorio. Además, el modelo muestra que los movimientos angular y horizontal son procesos independientes en este contexto específico.

Este análisis es fundamental para comprender sistemas oscilatorios combinados y puede extenderse a aplicaciones más complejas en física y ingeniería, donde múltiples fuerzas y movimientos interactúan en sistemas dinámicos.

Referencias

Last updated January 21, 2025