Développement de l'équation

Analyse détaillée de l'expression algébrique (4x+3)(8-3x) = -2x(6x-2)

Points clés à retenir

Utilisation de la distributivité : Chaque terme du premier binôme est multiplié par chaque terme du second binôme.
Vérification des erreurs typographiques : L'expression initiale comportait une faute (« 4x=3 ») qui a été corrigée en « 4x+3 ».
Simplification par regroupement : La combinaison et la simplification des termes semblables permettent de réduire l'expression à une forme factorisée.

Introduction et Contexte

L’équation proposée, initialement écrite comme « (4x=3)(8-3x)= -2x(6x-2) », présente une difficulté syntaxique. En effet, l'expression « 4x=3 » n'est pas un binôme valide pour le développement du premier membre. Il convient de supposer que l'intention était d'écrire « (4x+3)(8-3x) = -2x(6x-2) ». Cette correction permet d'appliquer les règles de la distributivité à chaque membre de l'équation de manière cohérente et rigoureuse.

Étapes du développement

Nous allons procéder en deux étapes principales :

Développement du premier membre : (4x+3)(8-3x)

1. Application de la distributivité

Pour développer le produit de deux binômes, on applique la règle de la distributivité. Cela signifie que chaque terme du premier binôme sera multiplié par chacun des termes du deuxième binôme. Pour le premier membre, la procédure est la suivante :

Multiplier 4x par 8 : 4x × 8 = 32x.
Multiplier 4x par -3x : 4x × (-3x) = -12x².
Multiplier 3 par 8 : 3 × 8 = 24.
Multiplier 3 par -3x : 3 × (-3x) = -9x.

2. Regroupement et simplification

Après avoir obtenu les produits intermédiaires, il convient de regrouper les termes semblables. Ainsi :

(4x+3)(8-3x) = 32x - 12x² + 24 - 9x.
En regroupant 32x et -9x, on obtient :
32x - 9x = 23x.
Ce qui donne l'expression développée :
-12x² + 23x + 24.

Développement du deuxième membre : -2x(6x-2)

1. Application de la distributivité

Le deuxième membre consiste en un terme monomiale multiplié par un binôme. La distributivité s'applique également :

Multiplier -2x par 6x : -2x × 6x = -12x².
Multiplier -2x par -2 : -2x × (-2) = 4x.

2. Expression du développement

Le résultat du développement devient :

-2x(6x-2) = -12x² + 4x.

Comparaison et Réunion des deux membres

Après avoir développé séparément les deux membres de l'équation, nous obtenons :

Premier Membre	Deuxième Membre
(4x+3)(8-3x) = -12x² + 23x + 24	-2x(6x-2) = -12x² + 4x

En écrivant l'équation développée complète, nous avons :

-12x² + 23x + 24 = -12x² + 4x.

Simplification finale de l'équation

1. Annulation des termes quadratiques communs

On remarque que les deux membres contiennent le terme -12x². En le soustrayant des deux côtés, on facilite la simplification :

(-12x² + 23x + 24) - (-12x²) = (-12x² + 4x) - (-12x²)
Ceci permet d'éliminer le terme en x², ce qui donne :
23x + 24 = 4x.

2. Regroupement des termes en x

Pour isoler les termes en x, procédez comme suit :

Soustrayez 4x aux deux côtés de l'équation :
23x + 24 - 4x = 0, ce qui simplifie à 19x + 24 = 0.

3. Résolution de l'équation linéaire

Afin d'isoler la variable, on soustrait 24 aux deux côtés :

19x = -24.

Finalement, en divisant par 19, on trouve :

x = \(-\frac{24}{19}\).

Il est à noter que si l'objectif initial était uniquement de développer l'équation, l'étape de simplification entière et la résolution de l'équation ne sont pas nécessairement requises. Toutefois, elles donnent une image complète de l'utilisation de la distributivité et du processus de simplification.

Analyse détaillée des concepts clés

Il convient d’examiner plus attentivement quelques aspects théoriques importants utilisés dans ce développement :

Règle de distributivité

La distributivité est une propriété fondamentale en algèbre qui permet de multiplier un terme par une somme ou une différence. Formellement, pour toute variable ou nombre réel a, b et c, on a :

\(a(b + c) = ab + ac\)

Dans le cas du produit de deux binômes, la distributivité s'applique deux fois afin de couvrir toutes les multiplications possibles entre les termes. Par exemple, pour \( (A+B)(C+D) \), les produits obtenus sont \(A \times C\), \(A \times D\), \(B \times C\), et \(B \times D\). Ce procédé garantit que l'ensemble des combinaisons est pris en compte.

Simplification et regroupement des termes

Après le développement, le regroupement des termes semblables est essentiel pour simplifier une expression algébrique. Cela implique de combiner tous les termes contenant la même puissance de la variable. Dans notre cas, la combinaison de 32x avec -9x donne 23x, et c'est un exemple typique de réduction qui facilite la résolution de l'équation.

Importance de la vérification syntaxique

L'expression initiale de l'équation donnait lieu à une confusion en raison d'une erreur typographique – l'utilisation d'un signe égal au lieu d'un signe plus. La vérification rigoureuse du texte original permet de s'assurer que l'analyse et le développement se fondent sur des expressions valides. Ainsi, identifier et corriger les erreurs potentielles en est une compétence essentielle en mathématiques appliquées.

Utilisation de la méthode pas à pas

Adopter une approche progressive et détaillée, étape par étape, permet d'éviter les erreurs lors du développement et de la simplification des expressions. Cette méthode démontre également le raisonnement mathématique et permet aux étudiants et professionnels de vérifier chaque partie du calcul indépendamment.

Tableau récapitulatif du processus de développement

Opération	Calcul et Résultat
Multiplication dans (4x+3)(8-3x)	4x × 8 = 32x 4x × (-3x) = -12x² 3 × 8 = 24 3 × (-3x) = -9x
Simplification du premier membre	32x - 9x = 23x Expression développée : -12x² + 23x + 24
Multiplication dans -2x(6x-2)	-2x × 6x = -12x² -2x × (-2) = 4x Expression développée : -12x² + 4x
Équation complète	-12x² + 23x + 24 = -12x² + 4x
Annulation et simplification	En supprimant -12x² de chaque côté : 23x + 24 = 4x
Résolution finale	23x + 24 - 4x = 0 → 19x + 24 = 0 19x = -24 x = \(-\frac{24}{19}\)

Conclusion

En résumé, nous avons développé chaque membre de l'équation corrigée « (4x+3)(8-3x) = -2x(6x-2) » en appliquant systématiquement la règle de la distributivité. Pour le premier membre, nous avons multiplié chaque terme de « 4x+3 » par chaque terme de « 8-3x », et nous avons ensuite regroupé les termes semblables pour obtenir l'expression -12x² + 23x + 24. Pour le deuxième membre, la multiplication directe de -2x par chaque terme du binôme « 6x-2 » nous a donné -12x² + 4x. La mise en commun de ces développements a permis de simplifier l'équation globale en éliminant les termes identiques, ce qui nous a conduit à l'équation linéaire 23x + 24 = 4x. En isolant les variables et en poursuivant la simplification, nous avons abouti à la solution finale x = -24/19. Cette démarche pas à pas permet d'illustrer l'application rigoureuse des propriétés algébriques et offre une compréhension claire des opérations impliquées.

Références

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