Análisis detallado de la diferencia de medias muestrales

Comprendiendo la probabilidad en la comparación de rendimiento entre dos marcas

Aspectos clave del problema

Distribución normal aplicada a la diferencia de medias: Las medias muestrales siguen una distribución normal cuando se tienen muestras de poblaciones normales.
Cálculo de la desviación estándar de la diferencia: Se obtiene combinando las varianzas de cada muestra.
Uso de la puntuación z: Permite determinar la probabilidad asociada a una diferencia específica de medias muestrales.

Introducción

En este análisis, se nos plantea un problema en el que se comparan el rendimiento medio (km/galón) de dos marcas de autos, A y B. Se tiene la siguiente información:

Marca A: Media (\(\mu_A\)) = 25 km/galón, Desviación estándar (\(\sigma_A\)) = 5.5 km/galón, Tamaño de la muestra \(n_A = 10\).
Marca B: Media (\(\mu_B\)) = 20 km/galón, Desviación estándar (\(\sigma_B\)) = 6 km/galón, Tamaño de la muestra \(n_B = 9\).

Además, se supone que el rendimiento de cada auto sigue una distribución normal. El objetivo es encontrar la probabilidad de que, en un concurso, el rendimiento medio de 10 autos de la marca A sea mayor que el de 9 autos de la marca B en al menos 3 km/galón. Para ello, se analiza la diferencia de las medias muestrales, la cual se comporta como una variable aleatoria con distribución normal.

Fundamentos teóricos

Distribución muestral de la diferencia

Si se toma una muestra de la marca A y otra de la marca B, la diferencia de medias muestrales se define como:

\(\bar{X}_A - \bar{X}_B\)

Esta diferencia se distribuye normalmente si las poblaciones originales son normales. La media de la diferencia es:

\(\mu_D = \mu_A - \mu_B\)

Y la desviación estándar de la diferencia es:

\(\sigma_D = \sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}}\)

Cálculo paso a paso

1. Definición de las medias y desviaciones

Para cada marca se tienen los siguientes parámetros:

Parámetro	Marca A	Marca B
Media (\(\mu\))	25 km/galón	20 km/galón
Desviación estándar (\(\sigma\))	5.5 km/galón	6 km/galón
Tamaño de la muestra (\(n\))	10	9

Debido a que los rendimientos están normalmente distribuidos, la diferencia de las medias muestrales de cada marca también seguirá una distribución normal.

2. Distribución de la diferencia de medias

La media de la diferencia se calcula como:

\(\mu_D = \mu_A - \mu_B = 25 - 20 = 5 \text{ km/galón}\)

La varianza de la diferencia es:

\(\sigma_D^2 = \frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B} = \frac{(5.5)^2}{10} + \frac{(6)^2}{9}\)

Realizando los cálculos:

\(\frac{(5.5)^2}{10} = \frac{30.25}{10} = 3.025\)
\(\frac{(6)^2}{9} = \frac{36}{9} = 4\)

La suma resulta en:

\(\sigma_D^2 = 3.025 + 4 = 7.025\)

Por consiguiente, la desviación estándar de la diferencia es:

\(\sigma_D = \sqrt{7.025} \approx 2.65 \text{ km/galón}\)

3. Planteamiento del evento y transformación a variable Z

El problema nos pide encontrar la probabilidad de que la diferencia de medias sea mayor a 3 km/galón. Es decir, queremos calcular:

\(\Pr(\bar{X}_A - \bar{X}_B > 3)\)

Dado que la diferencia de las medias se distribuye como \(N(\mu_D, \sigma_D^2)\), la estandarización a la variable Z se realiza mediante la fórmula:

\(\displaystyle Z = \frac{(\bar{X}_A - \bar{X}_B) - \mu_D}{\sigma_D}\)

Para el valor de 3 km/galón, la puntuación z es:

\(\displaystyle Z = \frac{3 - 5}{2.65} \approx \frac{-2}{2.65} \approx -0.755\)

4. Interpretación de la puntuación Z

En el contexto de la distribución normal, obtener un valor de \(Z \approx -0.755\) nos indica que 3 km/galón se encuentra 0.755 desviaciones estándar por debajo de la media de la diferencia (\(5\) km/galón). Queremos interpretar la probabilidad:

\(\Pr(Z > -0.755)\)

Recordando la simetría de la distribución normal, la probabilidad de que \(Z\) sea mayor a \(-0.755\) se relaciona con la probabilidad acumulada a la izquierda de \(-0.755\). Es decir:

\(\Pr(Z > -0.755) = 1 - \Pr(Z \leq -0.755)\)

Utilizando una tabla de la distribución normal estándar o una calculadora estadística, se obtiene:

\(\Pr(Z \leq -0.755) \approx 0.225\) (valor aproximado)

De modo que:

\(\Pr(Z > -0.755) \approx 1 - 0.225 = 0.775\)

Esto implica que hay aproximadamente un 77.5% de probabilidad de que la diferencia en el rendimiento medio de los autos (marca A vs. marca B) sea mayor a 3 km/galón.

Análisis intuitivo y consideraciones

Interpretación de los resultados

La media de la diferencia (\(5\) km/galón) ya es superior a la diferencia exigida de 3 km/galón, lo que sugiere que, en promedio, los autos de la marca A tienen un rendimiento significativamente mayor que los de la marca B. Sin embargo, debido a la variabilidad en las muestras (determinada por las desviaciones estándar y el tamaño muestral), existe cierta incertidumbre. La variabilidad combinada determina la dispersión de la diferencia de medias y, por ende, la probabilidad de que dicha diferencia esté por encima de un umbral dado.

Impacto del tamaño muestral y errores muestrales

El tamaño de la muestra influye en la estabilidad y precisión de la estimación del rendimiento medio. Muestras más grandes reducirían la varianza de las medias muestrales, haciendo la estimación de la diferencia de medias más precisa. En este problema, con muestras moderadas (10 y 9 unidades, respectivamente), la desviación estándar de la diferencia es \(\approx 2.65\) km/galón, lo que permite modelar con confianza la probabilidad del evento.

Comparación de resultados

Aunque existen ligeras discrepancias en la forma de redondear entre diferentes metodologías, los cálculos realizados muestran un consenso general acerca de una probabilidad cercana al 77.5% de que la diferencia de medias supere los 3 km/galón. Este valor surge de comparar la diferencia de medias esperada (5 km/galón) contra la desviación de la diferencia, lo que se traduce en un valor z negativo cuando se evalúa el umbral inferior de 3 km/galón.

Tabla resumen de los cálculos

Concepto	Fórmula / Cálculo	Valor
Media de A (\(\mu_A\))		25 km/galón
Media de B (\(\mu_B\))		20 km/galón
Diferencia de medias (\(\mu_D\))	\(\mu_A - \mu_B\)	5 km/galón
Varianza de A	\((5.5)^2\)	30.25
Varianza de B	\((6)^2\)	36
Varianza de la diferencia	\(\frac{30.25}{10} + \frac{36}{9}\)	7.025
Desviación estándar de la diferencia (\(\sigma_D\))	\(\sqrt{7.025}\)	\(\approx 2.65\) km/galón
Puntuación z (para 3 km/galón)	\(\frac{3-5}{2.65}\)	\(\approx -0.755\)
Probabilidad asociada	\(\Pr(Z > -0.755)\)	\(\approx 77.5\%\)

Conclusión

En conclusión, el análisis realizado demuestra que la probabilidad de que el rendimiento medio de 10 autos de la marca A sea mayor que el de 9 autos de la marca B en al menos 3 km/galón es de aproximadamente un 77.5%. Este resultado se obtiene mediante el uso de la distribución normal de la diferencia de medias, donde se combinan la media y la varianza derivadas de cada muestra. La diferencia de medias esperada es 5 km/galón y, al considerar la variabilidad en las muestras (desviación estándar combinada de alrededor de 2.65 km/galón), la estandarización del umbral de 3 km/galón resulta en un valor z de aproximadamente -0.755. Esto se traduce en una probabilidad de que la diferencia observada sea mayor a 3 km/galón de aproximadamente el 77.5%, confirmando que, dadas las condiciones específicas, la marca A tiene una ventaja significativa en el rendimiento medio respecto a la marca B en el contexto planteado.