Energía Fundamental y Función de Onda de un Sistema de Dos Partículas Acopladas

Análisis detallado del estado fundamental en sistemas cuánticos interactivos

Puntos Clave

Separación de Coordenadas: Descomposición del sistema en coordenadas del centro de masa y movimiento relativo.
Modelo de Oscilador Armónico: Uso del modelo para determinar la energía fundamental y la función de onda.
Masa Reducida: Importancia de la masa reducida en la resolución del problema cuántico.

Introducción

En mecánica cuántica, analizar sistemas de múltiples partículas puede ser complejo debido a las interacciones entre ellas. Sin embargo, ciertos sistemas permiten simplificaciones mediante la separación de variables, lo que facilita la determinación de las propiedades fundamentales como la energía y las funciones de onda. Este análisis se centra en un sistema de dos partículas de masas \( m_1 \) y \( m_2 \) que se mueven en una dimensión y están sujetas a un potencial de interacción armónico de la forma \( V(x_1, x_2) = a(x_1 - x_2)^2 \).

Formulación del Problema

Consideremos dos partículas con masas \( m_1 \) y \( m_2 \) que se desplazan a lo largo del eje \( x \). La interacción entre ellas está descrita por el potencial:

\[ V(x_1, x_2) = a(x_1 - x_2)^2 \]

donde \( a \) es una constante positiva que determina la fuerza del acoplamiento entre las partículas.

Separación de Coordenadas: Centro de Masa y Movimiento Relativo

Coordenadas del Centro de Masa

Para simplificar el análisis, se introducen las coordenadas del centro de masa \( X \) y la coordenada relativa \( x \) definidas por:

\[ X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \] \[ x = x_1 - x_2 \]

Estas coordenadas permiten separar el movimiento global del sistema del movimiento relativo entre las dos partículas.

Masa Reducida y Masa Total

Se definen dos parámetros fundamentales para la separación de las coordenadas:

Masa Total: \( M = m_1 + m_2 \)
Masa Reducida: \( \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \)

La masa total \( M \) describe el movimiento del centro de masa, mientras que la masa reducida \( \mu \) es esencial para describir el movimiento relativo.

Expresión del Hamiltoniano

El Hamiltoniano total del sistema, que representa la energía total, se compone de términos cinéticos y potenciales:

\[ H = -\frac{\hbar^2}{2m_1} \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} - \frac{\hbar^2}{2m_2} \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + a(x_1 - x_2)^2 \]

Al realizar el cambio de coordenadas a \( X \) y \( x \), el Hamiltoniano se separa en dos partes independientes:

\[ H = H_{\text{CM}} + H_{\text{rel}} \]

donde:

Hamiltoniano del Centro de Masa: \[ H_{\text{CM}} = -\frac{\hbar^2}{2M} \frac{\partial^2}{\partial X^2} \]
Este término describe el movimiento libre del centro de masa.
Hamiltoniano del Movimiento Relativo: \[ H_{\text{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + a x^2 \]
Este término representa un oscilador armónico unidimensional con masa reducida \( \mu \) y constante de fuerza efectiva \( k = 2a \).

Resolución del Hamiltoniano

Movimiento del Centro de Masa

El Hamiltoniano del centro de masa \( H_{\text{CM}} \) corresponde a una partícula libre. Sus soluciones son ondas planas con energía cinética:

\[ E_{\text{CM}} = \frac{\hbar^2 k^2}{2M} \]

En el estado fundamental, consideramos que el impulso \( k = 0 \), por lo que la energía del centro de masa es cero:

\[ E_{\text{CM}} = 0 \]

Movimiento Relativo: Modelo del Oscilador Armónico

El Hamiltoniano del movimiento relativo \( H_{\text{rel}} \) describe un oscilador armónico con masa reducida \( \mu \) y frecuencia angular \( \omega \) dada por:

\[ \omega = \sqrt{\frac{2a}{\mu}} \]

La energía de los estados cuánticos de un oscilador armónico está cuantizada y se expresa como:

\[ E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0,1,2,\ldots \]

Para el estado fundamental \( n = 0 \), la energía es:

\[ E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega = \frac{1}{2} \hbar \sqrt{\frac{2a}{\mu}} \]

Función de Onda del Estado Fundamental

La función de onda del estado fundamental para el movimiento relativo es una función Gaussiana:

\[ \psi_0(x) = \left( \frac{\mu \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp\left( -\frac{\mu \omega x^2}{2\hbar} \right) \]

La función de onda para el centro de masa en el estado fundamental, siendo una onda plana con \( k = 0 \), es simplemente una constante:

\[ \psi_{\text{CM}}(X) = C \]

donde \( C \) es una constante de normalización.

Energía Fundamental y Función de Onda Total

Energía Total del Sistema

La energía total del sistema es la suma de las energías del centro de masa y del movimiento relativo:

\[ E_{\text{total}} = E_{\text{CM}} + E_0 = 0 + \frac{1}{2} \hbar \sqrt{\frac{2a}{\mu}} = \frac{1}{2} \hbar \sqrt{\frac{2a}{\mu}} \]

Función de Onda Total

La función de onda total del sistema es el producto de las funciones de onda del centro de masa y del movimiento relativo:

\[ \Psi(X, x) = \psi_{\text{CM}}(X) \cdot \psi_0(x) = C \cdot \left( \frac{\mu \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \exp\left( -\frac{\mu \omega x^2}{2\hbar} \right) \]

donde \( C \) se determina mediante la normalización de la función de onda total.

Análisis Detallado

Masa Reducida y su Importancia

La masa reducida \( \mu \) juega un papel crucial al simplificar el problema de dos partículas a uno de una sola partícula en movimiento relativo. La expresión para la masa reducida es:

\[ \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \]

Esto permite que las propiedades del sistema se describan de manera efectiva sin necesidad de considerar directamente ambas masas por separado.

Frecuencia Angular del Oscilador Armónico

La frecuencia angular \( \omega \) del oscilador armónico relativo está determinada por la constante de fuerza \( a \) y la masa reducida \( \mu \): \[ \omega = \sqrt{\frac{2a}{\mu}} \]

Esta frecuencia determina las propiedades dinámicas del movimiento relativo entre las partículas.

Normalización de la Función de Onda

Para asegurar que la función de onda total está debidamente normalizada, se impone la condición:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(X, x)|^2 dX dx = 1 \]

Dado que \( \psi_{\text{CM}}(X) \) es una onda plana, la normalización se realiza considerando una caja de normalización de longitud \( L \), y posteriormente se toma el límite cuando \( L \) tiende a infinito.

Tabla de Parámetros Clave

Parámetro	Descripción	Expresión Matemática
Masa Total	Sumatoria de las masas de las partículas	\( M = m_1 + m_2 \)
Masa Reducida	Parámetro auxiliar para simplificar el problema	\( \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \)
Frecuencia Angular	Característica del oscilador armónico relativo	\( \omega = \sqrt{\frac{2a}{\mu}} \)
Energía Fundamental	Energía en el estado base del sistema	\( E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega \)

Conclusión

El análisis de un sistema de dos partículas en una dimensión interactuando a través de un potencial armónico revela que la energía fundamental del sistema está directamente relacionada con la constante de fuerza del potencial y la masa reducida de las partículas. Al separar el Hamiltoniano en términos del movimiento del centro de masa y el movimiento relativo, se simplifica significativamente la resolución del problema, permitiendo una determinación clara de la energía y la función de onda del estado fundamental. Este enfoque es fundamental en la mecánica cuántica para tratar sistemas multi-partículas de manera eficiente y efectiva.

Referencias

Last updated January 18, 2025