傅立葉級數計算：週期為4的奇函數三角波

完整計算與詳細檢查傅立葉正弦係數 bn

三大重點摘要

函數分段定義：明確定義函數在各區間的表達式，確保傅立葉級數計算的正確性。
傅立葉係數計算：利用分段積分和分部積分法，逐步計算每個區間的 bn 係數。
結果驗證與檢查：透過數學推導和對稱性分析，確保計算結果的準確性，並避免錯誤。

1. 問題背景與函數定義

1.1 週期性與奇函數特性

考慮一個週期為 T = 4 的週期函數 f(t)，其圖形顯示為奇函數。根據傅立葉級數理論，對於奇函數，傅立葉級數僅包含正弦項，形式如下：

\[ f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \]

1.2 分段函數定義

給定的分段函數如下：

0 ≤ t ≤ 1: f(t) = t
1 ≤ t ≤ 3: f(t) = -(t-2) = 2 - t
3 ≤ t ≤ 4: f(t) = t - 4

此函數在每個區間內為線性函數，組成一個對稱的三角波形。

2. 傅立葉正弦係數 bn 的計算

2.1 一般公式

對於週期為 T 的奇函數，其傅立葉正弦係數 bn 的計算公式為：

\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt \]

代入 T = 4，簡化為：

\[ b_n = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(t) \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

2.2 分段積分

由於 f(t) 在不同區間有不同的表達式，我們將積分區間分為三部分：

0 ≤ t ≤ 1: f(t) = t
1 ≤ t ≤ 3: f(t) = 2 - t
3 ≤ t ≤ 4: f(t) = t - 4

因此，bn 可表示為：

\[ b_n = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{1} t \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt + \int_{1}^{3} (2 - t) \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt + \int_{3}^{4} (t - 4) \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \right) \]

2.3 計算每個區間的積分

2.3.1 區間 [0,1]: f(t) = t

首先計算：

\[ I_1 = \int_{0}^{1} t \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

使用分部積分法，設：

u = t ⇒ du = dt
dv = \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt ⇒ v = -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right)

則：

\[ I_1 = -\frac{2t}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} + \frac{2}{\pi n} \int_{0}^{1} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

計算第一項：

\[ -\frac{2 \cdot 1}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) + \frac{2 \cdot 0}{\pi n} \cos(0) = -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

計算剩餘積分：

\[ \frac{2}{\pi n} \cdot \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \bigg|_{0}^{1} = \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

因此：

\[ I_1 = -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

2.3.2 區間 [1,3]: f(t) = 2 - t

計算：

\[ I_2 = \int_{1}^{3} (2 - t) \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

將積分拆開：

\[ I_2 = 2 \int_{1}^{3} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt - \int_{1}^{3} t \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

首先計算第一項：

\[ 2 \cdot \left( -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \bigg|_{1}^{3} \right) = -\frac{4}{\pi n} \left[ \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right] \]

接著計算第二項，使用分部積分法：

u = t ⇒ du = dt
dv = \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt ⇒ v = -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right)

\[ \int t \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt = -\frac{2t}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \]

評估積分在 [1,3] 之間：

\[ \left[ -\frac{2t}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \right]_{1}^{3} \]

將上下限代入：

\[ \left( -\frac{6}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \right) - \left( -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right) \]

整理後得到：

\[ -\frac{6}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

因此：

\[ I_2 = -\frac{4}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{8}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

2.3.3 區間 [3,4]: f(t) = t - 4

計算：

\[ I_3 = \int_{3}^{4} (t - 4) \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

同樣使用分部積分法：

u = t - 4 ⇒ du = dt
dv = \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt ⇒ v = -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right)

則：

\[ I_3 = -\frac{2(t - 4)}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \bigg|_{3}^{4} + \frac{2}{\pi n} \int_{3}^{4} \cos\left(\frac{\pi n t}{2}\right) dt \]

計算第一項：

\[ -\frac{2(4 - 4)}{\pi n} \cos(2\pi n) + \frac{2(3 - 4)}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) = \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \]

計算剩餘積分：

\[ \frac{2}{\pi n} \cdot \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n t}{2}\right) \bigg|_{3}^{4} = \frac{4}{\pi^2 n^2} \left[ \sin(2\pi n) - \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \right] = -\frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \]

因此：

\[ I_3 = \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \]

2.4 整合所有區間的結果

將 I₁, I₂, I₃ 相加：

\[ b_n = \frac{1}{2} \left( I_1 + I_2 + I_3 \right) \]

代入計算結果：

將 I₁, I₂, I₃ 展開並合併同類項：

\[ I_1 + I_2 + I_3 = \left( -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right) + \left( -\frac{4}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{8}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right) + \left( \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \right) \]

整理後：

\[ I_1 + I_2 + I_3 = \left( -\frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) + \frac{4}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right) + \left( -\frac{4}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) + \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \right) + \left( \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{8}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right) + \left( \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{3\pi n}{2}\right) \right) \]

\[ = \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

因此：

\[ b_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{2}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \frac{4}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right) = \frac{1}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \frac{1}{\pi n} \cos\left(\frac{3\pi n}{2}\right) - \frac{2}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

2.5 簡化表達式

考慮到三角函數的性質，特別是：

cos(3πn/2) = 0 當n為奇數；cos(πn/2) 亦為 0 當n為偶數。
sin(3πn/2) 須根據 n 的奇偶性進行處理。

對於奇數 n （n = 2k + 1），我們有：

\[ \cos\left(\frac{\pi (2k+1)}{2}\right) = 0， \quad \cos\left(\frac{3\pi (2k+1)}{2}\right) = 0 \]

因此，當 n 為奇數時：

\[ b_n = -\frac{2}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

又因為 n 為奇數，設 n = 2k + 1，則：

\[ \sin\left(\frac{\pi (2k+1)}{2}\right) = (-1)^k \]

最終得到：

\[ b_n = -\frac{2}{\pi^2 n^2} (-1)^k = \frac{2 (-1)^{k+1}}{\pi^2 n^2} = \frac{2 (-1)^{(n-1)/2}}{\pi^2 n^2} \]

當 n 為偶數時，由於 cos(πn/2) 和 cos(3πn/2) 都為 0，且 sin(πn/2) = 0，因此 bn = 0。

2.6 總結 bn 的表達式

綜合上述分析，我們得到傅立葉正弦係數 bn 的表達式如下：

\[ b_n = \begin{cases} \frac{2 (-1)^{(n-1)/2}}{\pi^2 n^2} & \text{當 n 為奇數時} \\ 0 & \text{當 n 為偶數時} \end{cases} \]

這說明了在週期為4的奇函數三角波傅立葉級數中，只有奇次諧波存在，且其係數隨 n² 的增加而衰減。

3. 完整的傅立葉級數表達式

結合所有的 bn，我們可以寫出函數 f(t) 的傅立葉級數：

\[ f(t) = \sum_{\substack{n=1 \\ n \text{ 奇數}}}^{\infty} \frac{2 (-1)^{(n-1)/2}}{\pi^2 n^2} \sin\left(\frac{n\pi t}{2}\right) \]

或更具體地表示為：

\[ f(t) = \frac{2}{\pi^2} \left( \frac{-1}{1^2} \sin\left(\frac{\pi t}{2}\right) + \frac{1}{3^2} \sin\left(\frac{3\pi t}{2}\right) - \frac{1}{5^2} \sin\left(\frac{5\pi t}{2}\right) + \cdots \right) \]