Representación Gráfica de un Sistema de Inecuaciones Lineales y su Región Factible

Aspectos Clave de la Graficación de Inecuaciones

Cada inecuación lineal define un semiplano en el plano cartesiano, siendo la recta asociada a la igualdad el límite entre ambos.
La solución de un sistema de inecuaciones lineales es la intersección de las regiones solución de cada inecuación individual, lo que forma la región factible.
El método gráfico es una herramienta poderosa para visualizar el conjunto de soluciones y es fundamental en problemas de programación lineal para identificar vértices óptimos.

Para graficar un sistema de inecuaciones lineales con dos variables, como el proporcionado (utilizando X1 y Y1 como variables), el procedimiento general consiste en graficar cada inecuación por separado en el plano cartesiano. Cada inecuación define una región del plano (un semiplano), y la solución del sistema es la intersección de todas estas regiones. Esta intersección se conoce como la región factible o conjunto de soluciones factibles.

Consideremos el sistema de inecuaciones proporcionado:

\[ \begin{align*} X_1 + Y_1 &\leq 200 \ 50X_1 + 20Y_1 &\leq 800 \ 3X_1 &\leq Y_1 \ X_1 &\leq 50 \ Y_1 &\leq 20 \end{align*} \]

En este caso, asumiremos que X1 y Y1 son variables no negativas, como es común en problemas de programación lineal. Esto implica que la región factible estará restringida al primer cuadrante del plano cartesiano donde \(X_1 \geq 0\) y \(Y_1 \geq 0\).

Graficando Cada Inecuación Lineal

Para graficar cada inecuación, primero la tratamos como una igualdad para encontrar la recta límite. Luego, elegimos un punto de prueba (generalmente el origen (0,0) si no está en la recta) para determinar qué lado del semiplano satisface la inecuación.

Inecuación 1: \(X_1 + Y_1 \leq 200\)

La recta asociada es \(X_1 + Y_1 = 200\). Para encontrar dos puntos en esta recta, podemos establecer \(X_1 = 0\), lo que da \(Y_1 = 200\), y establecer \(Y_1 = 0\), lo que da \(X_1 = 200\). Los puntos son (0, 200) y (200, 0). Al trazar la recta que pasa por estos puntos, podemos probar el origen (0,0): \(0 + 0 \leq 200\) es verdadero. Por lo tanto, la región que satisface esta inecuación es el semiplano que contiene al origen, incluyendo la recta.

Inecuación 2: \(50X_1 + 20Y_1 \leq 800\)

La recta asociada es \(50X_1 + 20Y_1 = 800\). Simplificando, dividiendo por 10, obtenemos \(5X_1 + 2Y_1 = 80\). Si \(X_1 = 0\), \(2Y_1 = 80\), entonces \(Y_1 = 40\). El punto es (0, 40). Si \(Y_1 = 0\), \(5X_1 = 80\), entonces \(X_1 = 16\). El punto es (16, 0). Probando el origen (0,0): \(50(0) + 20(0) \leq 800\) es verdadero. La región que satisface esta inecuación es el semiplano que contiene al origen, incluyendo la recta.

Inecuación 3: \(3X_1 \leq Y_1\)

La recta asociada es \(3X_1 = Y_1\). Esta recta pasa por el origen (0,0). Para encontrar otro punto, si \(X_1 = 10\), entonces \(Y_1 = 30\). El punto es (10, 30). Como la recta pasa por el origen, no podemos usar (0,0) como punto de prueba. Elegimos un punto que no esté en la recta, por ejemplo (10, 0). Sustituyendo en la inecuación: \(3(10) \leq 0\), lo cual es \(30 \leq 0\), que es falso. Esto significa que la región que satisface la inecuación es el semiplano que no contiene al punto (10, 0). En este caso, es la región por encima de la recta \(Y_1 = 3X_1\), incluyendo la recta.

Inecuación 4: \(X_1 \leq 50\)

La recta asociada es \(X_1 = 50\). Esta es una recta vertical que pasa por \(X_1 = 50\). La inecuación \(X_1 \leq 50\) representa todos los puntos a la izquierda de esta recta, incluyendo la recta.

Inecuación 5: \(Y_1 \leq 20\)

La recta asociada es \(Y_1 = 20\). Esta es una recta horizontal que pasa por \(Y_1 = 20\). La inecuación \(Y_1 \leq 20\) representa todos los puntos por debajo de esta recta, incluyendo la recta.

Restricciones de No Negatividad: \(X_1 \geq 0\) y \(Y_1 \geq 0\)

Estas restricciones limitan la región factible al primer cuadrante del plano cartesiano, donde los valores de X1 y Y1 son mayores o iguales a cero.

Identificación de la Región Factible

La región factible es la zona donde todas las inecuaciones se superponen. Al graficar todas las rectas límite y sombrear las regiones correspondientes a cada inecuación, la región donde todas las áreas sombreadas coinciden es la región factible. Esta región es un polígono convexo (o puede ser vacía, no acotada, o un punto). Los vértices de esta región factible son puntos importantes, ya que, en problemas de optimización lineal, la solución óptima se encuentra en uno de estos vértices.

El proceso de graficación y determinación de la región factible es un paso fundamental en la resolución de problemas de programación lineal utilizando el método gráfico.

Sistema de inecuaciones. Región factible

Ilustración conceptual de una región factible formada por la intersección de semiplanos.

Herramientas en línea como GeoGebra o Symbolab son útiles para visualizar rápidamente la región factible de un sistema de inecuaciones.

Interpretación de la Región Factible

Cada punto (X1, Y1) dentro de la región factible representa una combinación de valores para X1 y Y1 que satisface simultáneamente todas las restricciones dadas. En un contexto de aplicación, estos puntos representan las posibles soluciones o planes de acción que cumplen con todas las limitaciones del problema.

Los vértices de la región factible son especialmente relevantes. Estos puntos son la intersección de las rectas límite y representan las combinaciones "extremas" de valores para X1 y Y1 que son factibles. En problemas de programación lineal, donde se busca maximizar o minimizar una función objetivo lineal, la solución óptima siempre se encontrará en uno de estos vértices (si la región factible es acotada y no vacía).

Ejemplo de una región factible acotada en un problema de programación lineal.

Pasos para la Graficación en Resumen

Para cada inecuación, trata la desigualdad como una igualdad para obtener la ecuación de la recta límite.
Grafica cada recta límite en el plano cartesiano. Usa una línea sólida si la inecuación incluye "igual a" (\(\leq\) o \(\geq\)) y una línea punteada si es una desigualdad estricta (< o >).
Elige un punto de prueba que no esté en la recta (si la recta pasa por el origen, elige otro punto). Sustituye las coordenadas del punto en la inecuación original.
Si el punto de prueba satisface la inecuación, sombrea el semiplano que contiene al punto. Si no, sombrea el otro semiplano.
Repite los pasos 1 a 4 para cada inecuación del sistema.
La región donde todas las áreas sombreadas se superponen es la región factible. Asegúrate de considerar también las restricciones de no negatividad (\(X_1 \geq 0\), \(Y_1 \geq 0\)) si son aplicables.

Considerando las restricciones adicionales de \(X_1 \geq 0\) y \(Y_1 \geq 0\), la región factible estará limitada al primer cuadrante. La intersección de las regiones definidas por cada una de las cinco inecuaciones dadas dentro de este cuadrante constituirá la región factible para este sistema en particular.

Tabla Resumen de las Inecuaciones y Rectas Límite

Inecuación	Recta Límite	Puntos de Referencia (Ejemplos)	Semiplano Solución (respecto al origen si aplica)
\(X_1 + Y_1 \leq 200\)	\(X_1 + Y_1 = 200\)	(0, 200), (200, 0)	Contiene al origen
\(50X_1 + 20Y_1 \leq 800\)	\(50X_1 + 20Y_1 = 800\) (o \(5X_1 + 2Y_1 = 80\))	(0, 40), (16, 0)	Contiene al origen
\(3X_1 \leq Y_1\)	\(3X_1 = Y_1\)	(0, 0), (10, 30)	No contiene al punto (10, 0) / Por encima de la recta
\(X_1 \leq 50\)	\(X_1 = 50\)	(50, 0), (50, 10)	A la izquierda de la recta
\(Y_1 \leq 20\)	\(Y_1 = 20\)	(0, 20), (10, 20)	Por debajo de la recta

La tabla anterior resume las características principales de cada inecuación, lo cual es útil al momento de realizar la graficación.

Video Explicativo sobre Sistemas de Inecuaciones con Dos Incógnitas

El siguiente video ofrece una explicación visual y detallada sobre cómo graficar sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas, lo cual complementa el método descrito anteriormente para encontrar la región factible.

Este video ilustra el proceso de resolución gráfica de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, mostrando cómo cada inecuación define una región y cómo la intersección de estas regiones determina el conjunto solución.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es una inecuación lineal?

Una inecuación lineal es una desigualdad que involucra una o más variables de primer grado. Por ejemplo, \(2X + 3Y \leq 10\) es una inecuación lineal con dos variables.

¿Qué representa la región factible?

La región factible, en el contexto de un sistema de inecuaciones, representa el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente todas las inecuaciones del sistema. Gráficamente, es la intersección de las regiones solución individuales de cada inecuación.

¿Cómo se determina qué semiplano sombrear?

Después de graficar la recta límite de una inecuación, se elige un punto de prueba que no esté en la recta. Se sustituyen las coordenadas de este punto en la inecuación original. Si la inecuación se cumple, se sombrea el semiplano que contiene al punto de prueba; de lo contrario, se sombrea el otro semiplano.

¿Qué importancia tienen los vértices de la región factible?

En problemas de programación lineal, los vértices de la región factible son puntos críticos. Si existe una solución óptima para una función objetivo lineal, esta se encontrará en uno o más de estos vértices.