Prueba de Hipótesis para Mejorar la Distribución

Análisis estadístico comparativo de proporciones en dos muestras

Aspectos Clave

Planteamiento de Hipótesis: Se define la hipótesis nula que indica que no hay diferencia y la alternativa que sugiere una mejora en la distribución.
Cálculo del Estadístico Z: Se utiliza la prueba de diferencia de proporciones, calculando la proporción combinada y el estadístico Z para determinación del valor p.
Decisión y Significancia: Con un α de 0,04, los resultados obtenidos permiten concluir si hay evidencia suficiente para afirmar que la distribución ha mejorado.

Introducción y Contexto

La empresa ha intentado mejorar la distribución de una marca de desayuno congelado incrementando su fuerza de ventas. Para evaluar el impacto de esta estrategia, se ha realizado un levantamiento previo y otro posterior a la incorporación de nuevos vendedores. En el primer muestreo, se estudiaron 150 tiendas de abarrotes y se encontró que el 44% de ellas ofrecía el producto. Después, en un muestreo de 200 tiendas, el porcentaje aumentó a 52%. La pregunta central es: ¿al nivel de significancia α = 0,04, se puede concluir que la distribución ha mejorado de manera significativa?

Formulación de Hipótesis

Planteamiento Estadístico

Para evaluar la mejora en la distribución mediante una prueba de hipótesis para diferencia de proporciones, se definen las siguientes hipótesis:

Hipótesis Nula (H₀): No existe diferencia en las proporciones de tiendas que venden el producto antes y después de aumentar la fuerza de ventas. Se expresa como:
\( \displaystyle H_0: p_1 = p_2 \)

Hipótesis Alternativa (H₁): La proporción de tiendas que ahora venden el producto es mayor que la anterior, lo que indica una mejora en la distribución. Se expresa como:
\( \displaystyle H_1: p_1 < p_2 \)

Datos y Cálculos

Datos Muestrales

Se cuenta con los siguientes datos:

Muestra	Número de tiendas (n)	Porcentaje (% que venden el producto)	Proporción (p)
Antes de la fuerza de ventas	150	44%	0.44
Después de la fuerza de ventas	200	52%	0.52

Cálculo de la Proporción Combinada

La proporción combinada \( \hat{p} \) se obtiene sumando el número de éxitos de ambas muestras y dividiéndolo entre el total de tiendas muestreadas:

\( \displaystyle \hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} \)
Donde:

\( x_1 = 0.44 \times 150 = 66 \) (tiendas que venden el producto antes)
\( x_2 = 0.52 \times 200 = 104 \) (tiendas que venden el producto después)

Entonces:
\( \displaystyle \hat{p} = \frac{66 + 104}{150 + 200} = \frac{170}{350} \approx 0.4857 \)

Cálculo del Estadístico de Prueba Z

Para comparar las dos proporciones se utiliza la fórmula:

\( \displaystyle Z = \frac{p_2 - p_1}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}} \)

Sustituyendo los valores:

\( p_1 = 0.44 \) (antes)
\( p_2 = 0.52 \) (después)
\( n_1 = 150 \) y \( n_2 = 200 \)
\( \hat{p} \approx 0.4857 \)

Primero, se calcula el término de la varianza combinada:
\( \displaystyle \hat{p}(1-\hat{p}) = 0.4857 \times 0.5143 \approx 0.2498 \)

La suma de los términos de inversión de las muestras es:
\( \displaystyle \frac{1}{150} + \frac{1}{200} \approx 0.00667 + 0.005 = 0.01167 \)

Por lo tanto, el denominador es:
\( \displaystyle \sqrt{0.2498 \times 0.01167} \approx \sqrt{0.002914} \approx 0.054 \)

Finalmente, el estadístico Z se calcula como:
\( \displaystyle Z = \frac{0.52 - 0.44}{0.054} = \frac{0.08}{0.054} \approx 1.48 \)

Análisis de Significancia

Nivel de Significancia y Valor Crítico

Se utiliza un nivel de significancia \( \alpha = 0.04 \) para una prueba de una cola, ya que el objetivo es determinar si la proporción después de la intervención es mayor que la inicial. El valor crítico Z para \( \alpha = 0.04 \) en una prueba unilateral es aproximadamente 1.75.

Interpretación del Estadístico y Valor p

Con un estadístico Z calculado de aproximadamente 1.48, y comparándolo con el valor crítico de 1.75, se observa que:

El estadístico Z (1.48) no supera el umbral crítico (1.75).
Esto implica que el valor p asociado a 1.48 es mayor que 0.04.

Dado que el valor p excede el nivel de significancia, no se dispone de evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis nula. Por tanto, al nivel \( \alpha = 0.04 \), no se puede concluir que la distribución de la marca de desayuno congelado haya mejorado de forma significativa.

Resumen de Resultados

Parámetro	Valor
Tamaño de la muestra (antes)	150
Proporción (antes)	0.44
Tamaño de la muestra (después)	200
Proporción (después)	0.52
Proporción Combinada ( \( \hat{p} \) )	0.4857
Valor del Estadístico Z	1.48
Valor Crítico (α = 0.04)	1.75

Interpretaciones Adicionales

Implicaciones para la Empresa

Aunque se observa un incremento de 44% a 52% en la proporción de tiendas que comercializan el producto, el análisis estadístico indica que, a un nivel de significancia del 4%, no es posible afirmar de manera concluyente que la mejora en la distribución es significativa. Esto implica que:

La tendencia positiva (mayor porcentaje de tiendas) es observable, pero el tamaño del cambio no ha superado el umbral requerido para un resultado estadísticamente significativo.
Se recomienda continuar monitoreando la distribución con muestras adicionales o considerar otros factores complementarios (por ejemplo, inteligencia de mercado o análisis de ventas) para una evaluación más robusta.
La decisión de aumentar la fuerza de ventas puede seguir siendo válida en otras dimensiones, pero desde el punto de vista estadístico, los datos actuales no respaldan una mejora significativa.

Posibles Mejoras Metodológicas

Para futuras evaluaciones, la compañía podría:

Recoger datos durante periodos de tiempo más prolongados para observar si la tendencia se mantiene o aumenta.
Ampliar el tamaño de las muestras para reducir el error estándar y aumentar el poder estadístico de la prueba.
Analizar variables adicionales que puedan influir en la comercialización del producto, permitiendo un análisis más integral del proceso de distribución.