Gráfica de la Isocuanta para q = 20

Análisis y métodos para representar la combinación de capital y trabajo

3 Puntos Clave a Recordar

Derivación de la ecuación: La forma funcional de la isocuanta se obtiene fijando q = 20 en la función de producción y despejando una variable en función de la otra.
Relación entre K y L: La isocuanta puede expresarse tanto como K en función de L como L en función de K; las dos expresiones son equivalentes y muestran la convexidad de la curva.
Herramientas de graficación: Se pueden utilizar programas como Python o software de gráficos para representar la curva, que es típica de funciones de producción con rendimientos decrecientes.De forma numérica se obtienen puntos representativos para graficar la curva.

Introducción a las Isocuantas y la Función de Producción

Una isocuanta es una curva que representa todas las combinaciones de dos factores productivos, generalmente capital (K) y trabajo (L), que generan el mismo nivel de producción. En la microeconomía, esta herramienta es esencial para analizar la eficiencia de los insumos y determinar la mejor combinación posible cuando se mantiene constante el nivel de producción.

La función de producción que estamos analizando es:

q = K^0.2 · L^0.8

Nuestro objetivo es graficar la isocuanta correspondiente al nivel de producción q = 20, es decir, encontrar las combinaciones de capital y trabajo que satisfacen la ecuación:

20 = K^0.2 · L^0.8

Derivación de la Ecuación de la Isocuanta

Representación en Términos de K y L

Para graficar la isocuanta, podemos expresar la relación entre K y L de dos formas. Ambas son equivalentes y solo difieren en el factor al que despejamos.

Despejar K en función de L

Partimos de:

20 = K^0.2 · L^0.8

Dividiendo ambos lados por L^0.8 obtenemos:

K^0.2 = 20 / L^0.8

Para despejar K, elevamos ambos lados de la ecuación a la potencia de 1/0.2 (que equivale a 5):

K = (20 / L^0.8)⁵

Simplificando la expresión, se obtiene:

K = 20⁵ / L⁴

Es decir, cada combinación de L y K que cumple la ecuación K = (20⁵ / L⁴) producirá 20 unidades. Cabe notar que 20⁵ es un número grande (20⁵ = 3,200,000), lo cual es natural dado el exponente involucrado.

Despejar L en función de K

Alternativamente, despejamos L de la misma ecuación:

20 = K^0.2 · L^0.8

Dividiendo por K^0.2:

L^0.8 = 20 / K^0.2

Elevamos ambos lados a la potencia de 1/0.8 (es decir, 1.25) para obtener:

L = (20 / K^0.2)^1.25

Recordando que (K^0.2)^1.25 es igual a K^0.25, tenemos:

L = 20^1.25 · K^–0.25

Aproximamos 20^1.25 mediante logaritmos:

20^1.25 = exp(1.25 · ln 20) ≈ exp(1.25 · 2.9957) ≈ exp(3.7446) ≈ 42.3

Por lo tanto, la función de la isocuanta en esta forma es:

L ≈ 42.3 · K^–0.25

Ambas expresiones (K en función de L o L en función de K) son útiles para distintas situaciones. En el siguiente apartado se presentan ejemplos numéricos y se muestra la manera de graficarlas.

Ejemplificación y Puntos de la Isocuanta

Calcularemos algunos valores característicos para luego graficar la isocuanta. Usaremos la forma:

K = 3,200,000 / L⁴

A continuación, se presentan ejemplos de algunos puntos para diferentes valores de L:

L	K = 3,200,000 / L⁴
1	3,200,000
2	200,000
3	≈ 39,506
4	12,500
10	≈ 320

Es evidente que conforme aumenta L, el valor de K necesario para producir 20 unidades disminuye de forma acelerada, lo que refleja la convexidad de la isocuanta.

Métodos para Graficar la Isocuanta

Uso de Software y Ejemplos en Python

Una forma práctica de obtener la representación gráfica de la isocuanta es utilizar Python con la biblioteca matplotlib. El siguiente código de ejemplo muestra cómo generar la gráfica.

Código en Python para Graficar la Isocuanta


# Importamos las librerías necesarias
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definimos un rango para L evitando cero para no tener divisiones erróneas
L = np.linspace(0.1, 50, 400)

# Calculamos el valor de K usando la relación K = (20 / L^0.8)^5,
# que equivale a K = 3,200,000 / L^4
K = (20 / (L <b> 0.8)) </b> 5   # Otra forma: K = 3200000 / (L ** 4)

# Graficamos la isocuanta
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(L, K, label='q = 20')
plt.xlabel('Trabajo (L)')
plt.ylabel('Capital (K)')
plt.title('Gráfica de la isocuanta para q = 20')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Este código genera una gráfica donde el eje horizontal representa el trabajo (L) y el eje vertical el capital (K). Ajusta el rango de L para evitar valores extremos o divisiones por cero.

Interpretación de la Gráfica y Propiedades de la Isocuanta

Características de la Curva

La gráfica obtenida tendrá las siguientes propiedades características:

Convexidad hacia el origen: La curva es convexa, lo que ilustra que se debe reducir más agresivamente el insumo (K o L) cuando se incrementa el otro insumo para mantener el mismo nivel de producción.
Pendiente negativa: A medida que se incrementa el trabajo (L), se requiere menos capital (K) para producir 20 unidades. Esto refleja la tasa marginal de transformación entre K y L, la cual es negativa.
No se cruzan: Cada isocuanta, correspondiente a diferentes niveles de producción, es única y no se intersecta con otra.
Sustitución técnica: La forma de la curva muestra cómo es posible sustituir capital por trabajo (o viceversa) sin que cambie la cantidad producida.

Estas propiedades son fundamentales en el análisis de la eficiencia y la optimización en la producción. La gráfica resulta en una representación visual clara de las combinaciones de K y L que permiten mantener constante la producción.

Comparación de Expresiones: K en función de L y L en función de K

Dependiendo de la herramienta o el objetivo del análisis, podemos elegir expresar la isocuanta de dos maneras. En el caso de despejar K en función de L, obtuvimos:

K = 3,200,000 / L⁴

Mientras que al despejar L en función de K llegamos a:

L ≈ 42.3 · K^–0.25

Ambos formatos son equivalentes y representan la misma relación funcional entre los insumos. La elección de la forma para graficar depende de la variable que se desee colocar en el eje horizontal o de la facilidad para interpretar los datos.

Para fines prácticos, expresar K en función de L suele facilitar el trazar puntos en el eje de trabajo, especialmente cuando se desean ver rápidamente valores concretos y su comportamiento en la curva.

Aplicaciones y Relevancia en Economía

Importancia del Análisis de Isocuantas

El estudio de las isocuantas es fundamental en la teoría de la producción y en la toma de decisiones empresariales. Al analizar las combinaciones de insumos que permiten alcanzar un nivel de producción fijo, los gerentes y economistas pueden:

Evaluar la eficiencia productiva: Determinar cuál combinación de recursos minimiza costos manteniendo el mismo output.
Optimizaciones en costos: Al igual que se relacionan con las curvas de isocostos, las isocuantas ayudan a identificar el punto de minimización de costes en la producción.
Estudiar la tasa marginal de sustitución técnica: Esto representa la cantidad de capital que se puede sustituir por una unidad adicional de trabajo sin cambiar el nivel de producción.
Toma de decisiones estratégicas: Permite a las empresas ajustar combinaciones de insumos en respuesta a cambios en la tecnología o en los precios relativos de los factores.

En escenarios más complejos, la representación de múltiples isocuantas (un mapa de isocuantas) muestra diferentes niveles de producción, facilitando la comparación y la selección de la combinación óptima bajo restricciones económicas.

Conclusión

Hemos derivado y graficado la isocuanta correspondiente al nivel de producción q = 20 para la función de producción q = K^0.2 · L^0.8. La forma funcional se puede expresar tanto como K en función de L (K = 3,200,000 / L⁴) como L en función de K (L ≈ 42.3 · K^–0.25), lo que evidencia la relación inversa entre los dos factores productivos. Usando herramientas como Python, podemos representar gráficamente esta relación y observar la convexidad y la pendiente negativa, elementos característicos de las isocuantas y fundamentales en el análisis de la eficiencia productiva.

Referencias

Isocuanta - Wikipedia

Curva Isocuanta - Economipedia

Isocuantas en la Producción - Econlink

Isocuantas e Isocostos - Lifeder

Learn More

¿Cómo se determinan las curvas de isocostos y su relación con las isocuantas?

¿Qué importancia tienen los rendimientos decrecientes en el análisis de la producción?

¿Cómo afecta la tasa marginal de transformación en la elección de combinaciones de insumos?