Límites en Cálculo 1: qué ocurre cerca de un punto

Un límite describe a qué valor se aproxima una función cuando x se acerca a un punto, no necesariamente cuánto vale la función en ese punto. Para comprenderlo conviene separar tres preguntas: qué sucede alrededor del punto, si ambos lados coinciden y qué operaciones algebraicas permiten justificar el resultado. [1], [2]

1. La distinción esencial: acercarse no es evaluar

1. Una función puede estar indefinida en un punto y tener límite allí. La ausencia de un valor puntual no describe por sí sola lo que sucede en sus proximidades. [1]
2. El límite bilateral exige acuerdo entre los dos lados. No basta con observar la aproximación desde valores menores o solamente desde valores mayores. [1]
3. Las reglas de cálculo tienen condiciones. En particular, la ley del cociente exige que el límite del denominador sea distinto de cero. [2]

La notación lim(x→a) f(x) = L expresa que los valores de f(x) se aproximan a L cuando x se aproxima a a. La pregunta no es simplemente «¿cuánto vale f(a)?», sino «¿hacia dónde se dirigen los valores cercanos?». OpenStax introduce esta distinción comparando funciones indefinidas en x = 2: compartir esa ausencia no implica compartir el comportamiento alrededor del punto. Esta es la utilidad central del límite: describir lo que una evaluación aislada no permite ver. [1]

2. Un ejemplo resuelto: el resultado no está en la sustitución inicial

Consideremos F(x) = (x² − 9)/(x − 3), para x ≠ 3. Este ejemplo elaborado aplica la factorización y las leyes de límites. Sustituir x por 3 produce 0/0, que no proporciona un valor del cociente. Sin embargo, el numerador se factoriza como (x − 3)(x + 3). Para cualquier x distinto de 3 podemos cancelar el factor común y obtener F(x) = x + 3. La restricción importa: la simplificación describe los valores próximos, pero no define automáticamente la función original en 3. [2], [1]

Ahora el cálculo es directo: lim(x→3) F(x) = lim(x→3)(x + 3) = 3 + 3 = 6. Se utilizan el límite de la identidad, el de una constante y la ley de la suma. Para comprobar intuitivamente la aproximación, F(2,9) = 5,9 y F(3,1) = 6,1; más cerca, F(2,99) = 5,99 y F(3,01) = 6,01. Los números sugieren 6 desde ambos lados; la igualdad algebraica y las leyes justifican el resultado. La función sigue sin estar definida en 3, pero su límite es 6. [2], [1]

3. Por qué hay que mirar a izquierda y derecha

El límite por la izquierda, escrito lim(x→a−) f(x), considera valores de x menores que a; el límite por la derecha, lim(x→a+) f(x), considera valores mayores. El criterio fundamental establece que el límite bilateral es el número real L si y solo si ambos límites laterales son L. Esto permite detectar situaciones que una aproximación desde un único lado dejaría ocultas: conocer un límite lateral no basta para afirmar que existe el bilateral. [1]

Apliquémoslo a G(x) = |x − 2|/(x − 2). Si x < 2, el valor absoluto convierte el numerador en −(x − 2), y el cociente vale −1. Si x > 2, el numerador es x − 2 y el cociente vale 1. Por tanto, el límite izquierdo es −1 y el derecho es 1. Los dos existen, pero no existe el límite bilateral. A diferencia del ejemplo anterior, aquí no hay un único valor al que se acerquen las salidas desde ambas direcciones. [1], [2]

4. Distintas formas de no tener un límite finito

Decir «el límite no existe» puede ser correcto pero poco informativo. La función sen(1/x), por ejemplo, oscila cada vez más entre −1 y 1 cuando x se aproxima a 0; no se acerca a un único número. Este caso muestra que permanecer entre dos cotas no garantiza convergencia. Por otra parte, OpenStax distingue los límites infinitos para describir comportamientos que tampoco tienen un límite finito. Conviene, por tanto, precisar si falla el acuerdo entre lados, persiste una oscilación o aparece un comportamiento infinito. [1]

La siguiente comparación reúne tres comportamientos diferentes. Los dos primeros resultados proceden de los cálculos anteriores; el tercero es el ejemplo oscilante descrito por OpenStax. Su utilidad es evitar que «indefinida en el punto» y «sin límite» se traten como expresiones equivalentes. [1], [2]

5. Un método práctico para calcular sin aplicar reglas a ciegas

Las leyes permiten combinar límites conocidos mediante sumas, diferencias, múltiplos constantes, productos, cocientes y potencias. Su punto de partida es que los límites individuales existen como números reales. Así, el cálculo de expresiones complejas se reduce a operaciones más sencillas, pero no a operaciones sin restricciones: en un cociente, el límite del denominador debe ser distinto de cero. Las raíces también tienen condiciones; para índice par se requiere la no negatividad indicada en la ley correspondiente. [2]

Una secuencia útil es identificar el punto de aproximación, revisar si las leyes se pueden aplicar y simplificar algebraicamente cuando sea necesario. Si aparecen comportamientos diferentes según el lado, conviene calcular los límites laterales por separado. Una tabla o una gráfica ayuda a estimar el resultado y reconocer patrones, pero debe distinguirse esa estimación de un cálculo justificado. En el ejemplo de F, la tabla orienta hacia 6; la factorización explica por qué ese valor es correcto. [1], [2]

Explore next

1. ¿Cómo se distingue una discontinuidad reparable de un salto mediante límites laterales?
2. ¿Cuándo conviene factorizar para calcular un límite?
3. ¿Por qué una tabla puede sugerir un límite sin demostrarlo?
4. ¿Qué diferencia hay entre un límite infinito y un límite que falla por oscilación?

Sources

Open a source or expand its cited passages.

Relevance scores are model estimates of how well each source addresses this question, not probabilities or fact-check ratings. Reasoned guidance is identified on hover.

1. 982.2 El límite de una función - Cálculo volumen 1 | OpenStaxopenstax.orgExplica directamente el comportamiento cercano, los límites laterales y el ejemplo de oscilación.›
2. 982.3 Las leyes de los límites - Cálculo volumen 1 | OpenStaxopenstax.orgProporciona las leyes y sus condiciones, además de identificar la factorización como técnica de cálculo.›