Ejercicios Prácticos para Examen

Diversos problemas de geometría analítica y álgebra para dominar tus conceptos

Aspectos clave a destacar

• Estrategias y fórmulas esenciales: Desde problemas de localización en el plano hasta ecuaciones de rectas y funciones cuadráticas.
• Aplicación paso a paso: Cada ejercicio viene acompañado de fórmulas y procedimientos útiles.
• Variedad de temas: Se incluyen ejercicios de pendiente, distancia, triángulos, punto medio y más, abarcando un amplio espectro del temario.

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Ejercicios Detallados por Tema

1. Localiza los puntos en el plano cartesiano

Estos ejercicios te ayudarán a practicar la identificación y graficación de puntos en un sistema de coordenadas. Dominar este aspecto es fundamental para abordar problemas complejos en geometría analítica.

Ejercicio 1A

Localiza y grafica el punto A(2, 3) y el punto B(-1, 4) en el plano cartesiano. Para resolverlo, simplemente ubica el punto A desplazándote 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba, y luego el punto B moviéndote 1 unidad a la izquierda y 4 unidades hacia arriba.

Ejercicio 1B

Localiza y grafica los puntos C(-3, -2) y D(5, -1). Este ejercicio refuerza la comprensión de la ubicación en los cuadrantes negativos y positivos. La práctica mejora la exactitud al marcar los puntos correctamente en el plano cartesiano.

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2. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos

El concepto de pendiente es crucial para describir la inclinación de una recta. Se calcula utilizando la fórmula:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Ejercicio 2A

Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4). Sustituyendo en la fórmula, tenemos:

\( m = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 \)

Ejercicio 2B

Encuentra la pendiente de la recta que atraviesa los puntos (-2, 5) y (1, -1). Aplicando la fórmula, se obtiene:

\( m = \frac{-1 - 5}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2 \)

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3. Hallar la distancia de segmentos y graficar

Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano, se utiliza la fórmula derivada del teorema de Pitágoras:

\( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)

Ejercicio 3A

Calcula la distancia entre P1(-5, 3) y P2(4, 3) y representa ambos puntos en el plano. Dado que las coordenadas y son iguales, la distancia se reduce a la diferencia en x:

\( d = |4 - (-5)| = 9 \)

Ejercicio 3B

Halla la distancia entre los puntos (2, -3) y (5, 1) y grafícalos. Primero calcula la diferencia en cada coordenada:

\( \Delta x = 5 - 2 = 3 \) y \( \Delta y = 1 - (-3) = 4 \)

\( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)

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4. Verificar si los puntos forman un triángulo isósceles

Para determinar si tres puntos constituyen un triángulo isósceles, es necesario calcular las distancias entre cada par de puntos y comprobar si al menos dos de ellas son iguales.

Ejercicio 4A

Verifica si los puntos A(0, 0), B(2, 2) y C(0, 4) forman un triángulo isósceles.

Calcula las distancias:

• \( AB = \sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
• \( AC = \sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2} = 4 \)
• \( BC = \sqrt{(2-0)^2+(2-4)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

Como \( AB = BC \), se forma un triángulo isósceles.

Ejercicio 4B

Determina si los puntos D(-1, 0), E(1, 0) y F(0, \(\sqrt{3}\)) conforman un triángulo isósceles.

Calcula las distancias:

• \( DE = |1 - (-1)| = 2 \)
• \( DF = \sqrt{(0-(-1))^2+(\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1+3} = 2 \)
• \( EF = \sqrt{(0-1)^2+(\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1+3} = 2 \)

Observa que todas las distancias son iguales, lo que indica que se forma un triángulo equilátero, que es un caso particular de triángulo isósceles.

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5. Halla la ecuación de la recta

Este apartado se divide en dos partes: la recta que pasa por un punto con una pendiente dada y la recta que pasa por dos puntos determinados.

Ejercicio 5A (punto y pendiente)

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 5) y tiene una pendiente m = 2.

Usa la forma punto-pendiente:

\( y - 5 = 2(x - 1) \)

Simplificando, se obtiene:

\( y = 2x + 3 \)

Ejercicio 5B (dos puntos)

Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, -1).

Primero, calcula la pendiente:

\( m = \frac{-1-3}{4-2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Luego utiliza la forma punto-pendiente utilizando el punto (2, 3):

\( y - 3 = -2 (x - 2) \)

Simplificando, obtenemos:

\( y = -2x + 7 \)

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6. Halle el punto medio del segmento

El punto medio se obtiene mediante la fórmula:

\( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)

Ejercicio 6A

Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (1, 4) y (3, 2).

Aplicando la fórmula:

\( \left(\frac{1+3}{2},\frac{4+2}{2}\right) = (2, 3) \)

Ejercicio 6B

Encuentra el punto medio del segmento con extremos en (-2, 0) y (4, -6).

Aplicando la fórmula:

\( \left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+(-6)}{2}\right) = (1, -3) \)

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7. Ecuación de la recta punto-intercepto

La ecuación punto-intercepto se expresa comúnmente en la forma:

\( y = mx + b \)

donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es el intercepto en el eje y.

Ejercicio 7A

Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0, 4). Como el punto se encuentra en el eje y, su intercepto es 4. Por lo tanto, la ecuación es:

\( y = 3x + 4 \)

Ejercicio 7B

Determina la ecuación en forma punto-intercepto para una recta que tiene pendiente -\(\frac{1}{2}\) y pasa por el punto (4, 1). Usando la forma punto-pendiente y luego convirtiendo:

\( y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4) \)

Distribuyendo y simplificando:

\( y = -\frac{1}{2}x + 3 \)

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8. Ecuación de la recta intercepto-intercepto

Para este tipo de ecuación se utiliza la forma:

\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

donde \( a \) y \( b \) son los interceptos en los ejes x e y, respectivamente.

Ejercicio 8A

Encuentra la ecuación de la recta que intercepta el eje x en (6, 0) y el eje y en (0, 3). Sustituyendo los valores en la fórmula:

\( \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1 \)

Ejercicio 8B

Determina la ecuación de la recta que corta el eje x en (-4, 0) y el eje y en (0, 8). De la misma forma, se obtiene:

\( \frac{x}{-4} + \frac{y}{8} = 1 \)

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9. Ecuación cuadrática

Las ecuaciones cuadráticas, en forma general \( ax^2 + bx + c = 0 \), pueden resolverse por diversos métodos como el método de factorización y la fórmula cuadrática.

Ejercicio 9A

Resuelve la ecuación cuadrática \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Factoriza la expresión como:

\( (x-2)(x-3) = 0 \)

Las soluciones son \( x = 2 \) o \( x = 3 \).

Ejercicio 9B

Encuentra las raíces de la ecuación \( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \). Para ello, utiliza la fórmula cuadrática:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

Con \( a = 2 \), \( b = 7 \) y \( c = -4 \), calcula el discriminante:

\( \Delta = 7^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81 \)

Luego las soluciones son:

\( x = \frac{-7 \pm 9}{4} \)

• Si \( -7+9=2 \): \( x = \frac{2}{4} = 0.5 \)
• Si \( -7-9=-16 \): \( x = \frac{-16}{4} = -4 \)

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Resumen de Ejercicios

A continuación, se presenta una tabla que resume los ejercicios propuestos:

Punto	Ejercicio A	Ejercicio B
Localizar Puntos	A(2, 3) y B(-1, 4)	C(-3, -2) y D(5, -1)
Pendiente de la Recta	(1, 2) y (3, 4)	(-2, 5) y (1, -1)
Distancia y Graficar	P1(-5, 3) y P2(4, 3)	(2, -3) y (5, 1)
Triángulo Isósceles	(0, 0), (2, 2), (0, 4)	(-1, 0), (1, 0), (0, √3)
Ecuación de la Recta	Punto y pendiente: (1, 5) m=2	Entre dos puntos: (2, 3) y (4, -1)
Punto Medio	(1, 4) y (3, 2)	(-2, 0) y (4, -6)
Recta Punto-Intercepto	Pendiente = 3 y (0, 4)	Pendiente = -½ y (4, 1)
Recta Intercepto-Intercepto	Interceptos: (6, 0) y (0, 3)	Interceptos: (-4, 0) y (0, 8)
Ecuación Cuadrática	\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)	\( 2x^2 + 7x - 4 = 0 \)

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Referencias

• Ejercicios de distancia entre dos puntos - Neurochispas
• Distancia entre dos puntos: fórmula, ejemplos y ejercicios - Momento Matemático
• Distancia entre dos puntos - Fisymat
• Calculando la distancia entre dos puntos - Superprof
• Función cuadrática - Varsity Tutors

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