Desentrañando el Modelo de Mogi: Más Allá de la Simplicidad en Geofísica

Explorando las capacidades, limitaciones y evoluciones de una herramienta fundamental para entender la deformación terrestre.

El modelo de Mogi, concebido por el geofísico japonés Kiyoo Mogi en 1958, representa un pilar fundamental en la vulcanología y la geofísica. Se utiliza ampliamente para interpretar la deformación de la superficie terrestre causada por cambios de presión subterráneos, como los asociados al movimiento de magma bajo los volcanes, la extracción de agua subterránea o la actividad de fluidos hidrotermales. Su popularidad radica en su relativa simplicidad matemática y facilidad de aplicación, permitiendo obtener estimaciones iniciales sobre la localización y magnitud de la fuente de presión.

Puntos Clave del Modelo de Mogi

• Simplicidad Conceptual: Modela la deformación como resultado de una fuente de presión puntual o esférica pequeña en un medio idealizado.
• Limitaciones Inherentes: Sus suposiciones sobre una fuente puntual y un medio homogéneo sin topografía restringen su precisión en escenarios geológicos complejos.
• Evolución Necesaria: Aunque útil como primera aproximación, requiere ser complementado o sustituido por modelos numéricos más sofisticados (como FEM o CDMs) para análisis detallados que consideren geometrías realistas y heterogeneidades del medio.

El Corazón del Modelo: Una Fuente Simple en un Mundo Ideal

Entendiendo las Bases Matemáticas y Físicas

El modelo de Mogi se basa en la idea de una fuente de presión hidrostática contenida dentro de una pequeña cavidad esférica (o simplemente un punto matemático que representa el centro de esta esfera) enterrada a una cierta profundidad (d) bajo la superficie. Crucialmente, asume que esta fuente está incrustada en un semiespacio elástico, homogéneo e isotrópico (HIPSHS). Esto significa que el material (roca) que rodea la fuente se deforma de manera predecible (elástica), tiene las mismas propiedades físicas en todas partes (homogéneo) y responde igual a las fuerzas aplicadas independientemente de la dirección (isotrópico). Además, considera que la superficie de la Tierra es plana.

Representación esquemática del modelo de Mogi: una fuente de presión esférica (cámara magmática idealizada) causa abombamiento (inflación) en la superficie plana. Fuente: USGS.

Bajo estas condiciones idealizadas, el modelo proporciona ecuaciones analíticas (fórmulas matemáticas directas) para calcular la deformación esperada en la superficie a una distancia radial (r) desde el epicentro (el punto en la superficie directamente sobre la fuente). Los parámetros que predice incluyen:

• Desplazamiento vertical (ΔU_z): El levantamiento o hundimiento del terreno.
• Desplazamiento radial horizontal (ΔU_r): El movimiento del terreno alejándose o acercándose al epicentro.
• Inclinación (Tilt): El cambio en la pendiente del terreno.
• Deformación (Strain): Cambios en las distancias horizontales (radial y tangencial).

La simplicidad de estas ecuaciones permite calcular rápidamente la deformación esperada si se conocen los parámetros de la fuente (profundidad, cambio de volumen o presión) o, inversamente, estimar estos parámetros a partir de mediciones de deformación en la superficie (obtenidas por GPS, InSAR, tiltímetros, etc.).

Limitación 1: La Simplificación Excesiva de la Fuente

¿Cuándo una Esfera Pequeña No Es Suficiente?

La primera gran limitación, y quizás la más reconocida, es la suposición de una fuente puntual o esférica pequeña. Si bien puede ser una aproximación razonable para fuentes muy profundas o compactas, los sistemas magmáticos reales rara vez son esferas perfectas. Pueden adoptar formas complejas e irregulares, como:

• Diques: Estructuras tabulares verticales o subverticales.
• Sills: Intrusiones tabulares horizontales o subhorizontales.
• Cámaras magmáticas extensas: Cuerpos de magma de gran tamaño y forma irregular.
• Redes de conductos: Sistemas interconectados de transporte de magma.

Cuando la fuente de deformación tiene una geometría compleja o un tamaño significativo en comparación con su profundidad, el modelo de Mogi puede fallar en representar adecuadamente el patrón de deformación superficial. Esto puede conducir a errores significativos en la estimación de parámetros clave como la profundidad real de la fuente, su volumen o el cambio de presión interna. Por ejemplo, intentar modelar la deformación causada por la intrusión de un dique largo y delgado usando una fuente puntual resultará inevitablemente en una estimación incorrecta de su ubicación y dimensiones.

Ejemplos de fuentes magmáticas con geometrías más complejas (diques, sills) que no se ajustan bien a la suposición de fuente puntual del modelo de Mogi. Fuente: MDPI Geosciences.

Para abordar esta limitación, se han desarrollado modelos más sofisticados. Los Modelos de Dislocación Compuesta (CDMs), como los discutidos por Nikkhoo et al. (2017), permiten simular fuentes con geometrías más realistas (rectangulares, elipsoidales) y pueden representar mejor las deformaciones causadas por diques, fallas o sills.

# Ejemplo conceptual de cómo un modelo más complejo podría definirse
# (Esto no es código ejecutable real, solo ilustrativo)

# Modelo Mogi (simplificado)
source_mogi = define_point_source(depth=5000, delta_volume=1e6)

# Modelo CDM (más realista para un dique)
source_cdm_dike = define_rectangular_dislocation(
    depth=4000,
    length=3000,
    width=1000,
    strike=45, # Orientación
    dip=80,   # Inclinación
    opening=0.5 # Apertura
)
  

Limitación 2: Ignorando la Complejidad del Mundo Real

El Impacto de la Topografía y la Geología Heterogénea

La segunda limitación fundamental del modelo de Mogi es su tratamiento del medio circundante como un semiespacio elástico, homogéneo, isotrópico y con una superficie plana. La corteza terrestre real dista mucho de este ideal:

• Topografía: Las superficies de los volcanes y las zonas tectónicamente activas suelen tener un relieve considerable (montañas, valles, calderas). La presencia de pendientes pronunciadas modifica significativamente cómo se distribuye la deformación en la superficie. Ignorar la topografía puede llevar a interpretaciones erróneas, especialmente en las mediciones de inclinación y desplazamiento horizontal cerca de las laderas.
• Heterogeneidad Geológica: La corteza está compuesta por diferentes tipos de rocas con distintas propiedades elásticas (rigidez, compresibilidad). Existen capas estratificadas, fallas preexistentes, zonas de alteración hidrotermal más débiles, etc. Estas variaciones en las propiedades del material (heterogeneidades) y la presencia de discontinuidades (fallas) influyen en cómo se propagan las tensiones y cómo se manifiesta la deformación en la superficie. El modelo de Mogi, al asumir homogeneidad, no puede capturar estos efectos.
• Anisotropía: Algunos materiales rocosos pueden tener propiedades elásticas que varían con la dirección (anisotropía), algo que el modelo isotrópico de Mogi tampoco considera.

El Volcán Lonquimay en Chile ejemplifica la topografía compleja que el modelo estándar de Mogi no considera. Fuente: Argentina.gob.ar.

La importancia de considerar el entorno geológico y tectónico real, incluyendo heterogeneidades y topografía, es subrayada en estudios de zonas volcánicas activas como los Andes (Stern, 2004). En áreas con topografía marcada o geología compleja, los patrones de deformación observados pueden desviarse sustancialmente de las predicciones del modelo de Mogi.

Visualizando el Modelo de Mogi y sus Ramificaciones

Un Mapa Mental para Entender sus Componentes

Para consolidar la comprensión del modelo de Mogi, sus fundamentos, resultados y limitaciones, el siguiente mapa mental organiza visualmente estos conceptos clave.

Este mapa mental ilustra cómo el concepto central del modelo de Mogi se basa en suposiciones simplificadoras que, si bien permiten obtener predicciones útiles, también generan limitaciones significativas. Estas limitaciones impulsan el desarrollo y uso de modelos más avanzados para capturar la complejidad del mundo real.

Superando las Limitaciones: Hacia Modelos Más Realistas

El Papel de los Métodos Numéricos y Analíticos Avanzados

Para superar las deficiencias del modelo de Mogi, la geofísica moderna recurre a enfoques más sofisticados:

• Modelos de Elementos Finitos (FEM): Son métodos numéricos computacionalmente intensivos que dividen el subsuelo y la superficie en una malla de pequeños elementos. Esto permite asignar propiedades de material variables (heterogeneidad, anisotropía) a diferentes partes del modelo e incorporar geometrías complejas tanto para la fuente de presión como para la topografía de la superficie. Los FEM ofrecen una flexibilidad mucho mayor para simular condiciones realistas, aunque requieren más datos de entrada y mayor potencia computacional.
• Modelos de Elementos de Contorno (BEM): Otra técnica numérica que puede ser eficiente para ciertos problemas, especialmente aquellos que involucran fracturas o dislocaciones.
• Modelos Analíticos Avanzados: Existen extensiones analíticas que intentan incorporar cierta complejidad, como fuentes elipsoidales o fuentes en medios estratificados, aunque suelen mantener otras simplificaciones. Modelos como el de Yang (mencionado en Answer C) intentan mejorar el ajuste considerando fuentes no puntuales.
• Modelos de Dislocación Compuesta (CDMs): Como ya se mencionó (Nikkhoo et al., 2017), estos modelos son efectivos para representar fuentes planas como diques y fallas, utilizando la teoría de la dislocación elástica.

La elección del modelo adecuado depende del problema específico, la calidad de los datos disponibles y los recursos computacionales. A menudo, el modelo de Mogi se utiliza como un primer paso rápido, seguido de modelos más complejos si los resultados iniciales o la complejidad geológica lo justifican.

Comparativa: Mogi vs. Modelos Avanzados

Un Vistazo a las Fortalezas y Debilidades

La siguiente tabla resume las diferencias clave entre las suposiciones del modelo de Mogi y la complejidad del mundo real, indicando cómo los modelos avanzados abordan estas diferencias:

Esta tabla destaca el compromiso entre la simplicidad del modelo de Mogi y el realismo de los modelos más avanzados.

Evaluando los Modelos: Simplicidad vs. Realismo

Una Comparación Multicriterio

El siguiente gráfico de radar compara el modelo de Mogi con alternativas más complejas como los Modelos de Elementos Finitos (FEM) y los Modelos de Dislocación Compuesta (CDMs) en varios aspectos clave. La escala va desde 1 (Bajo) hasta 5 (Alto), reflejando una evaluación cualitativa basada en las discusiones anteriores. Es importante notar que esta es una representación conceptual para ilustrar las diferencias relativas.

El gráfico ilustra claramente el compromiso: el modelo de Mogi sobresale en simplicidad y facilidad de uso con bajos requerimientos de datos, pero sacrifica realismo y precisión potencial. Los modelos FEM ofrecen el mayor potencial de precisión y realismo al poder incorporar geometrías, heterogeneidades y topografía complejas, pero a costa de una mayor complejidad computacional, dificultad de aplicación y mayores requerimientos de datos. Los CDMs representan un punto intermedio, siendo muy efectivos para modelar fuentes planas específicas.

Deformación en Acción: Observaciones Reales

Un Vistazo a la Deformación Volcánica Detectada

Los modelos como el de Mogi y sus sucesores son cruciales para interpretar datos reales de deformación detectados por sistemas de monitoreo modernos. El siguiente video muestra una discusión sobre la deformación superficial confirmada cerca del complejo volcánico Chiles-Cerro Negro, en la frontera entre Ecuador y Colombia. Este tipo de datos, a menudo obtenidos mediante técnicas como InSAR (Interferometría Radar de Apertura Sintética) o GPS, son los que se introducen en los modelos geofísicos para inferir las características de los procesos subterráneos que los causan.

Video del Instituto Geofísico de Ecuador discutiendo la deformación superficial detectada cerca del volcán Chiles.

La interpretación de estas señales de deformación, utilizando modelos que van desde el simple Mogi hasta complejos FEM, permite a los científicos evaluar el estado de actividad de un volcán, estimar la cantidad de magma que podría estar acumulándose o moviéndose, y contribuir a la evaluación del peligro volcánico.

La Vigencia del Modelo de Mogi

¿Por Qué Sigue Siendo Relevante?

A pesar de sus limitaciones bien documentadas, el modelo de Mogi no ha sido completamente descartado. Su persistencia se debe a varias razones:

• Punto de Partida: A menudo se utiliza como una primera aproximación rápida y sencilla para obtener estimaciones iniciales de la profundidad y el cambio de volumen de una fuente.
• Bajo Costo Computacional: Sus ecuaciones analíticas son muy rápidas de calcular, lo que lo hace útil para exploraciones preliminares o cuando los recursos computacionales son limitados.
• Herramienta Educativa: Su simplicidad lo convierte en una excelente herramienta para enseñar los conceptos básicos de la modelización de la deformación volcánica.
• Benchmark: Sirve como un modelo de referencia simple contra el cual comparar los resultados de modelos más complejos.
• Casos Aplicables: En situaciones donde la fuente es efectivamente profunda y compacta, y la topografía y heterogeneidades no son dominantes, el modelo de Mogi puede proporcionar resultados razonablemente precisos.

En la práctica moderna, es común usar el modelo de Mogi en conjunto con otros datos o como parte de un enfoque escalonado, donde los resultados iniciales de Mogi guían la implementación de modelos más detallados si es necesario.

Preguntas Frecuentes sobre el Modelo de Mogi

Aclarando Dudas Comunes

Referencias

• Mogi and McTigue models revisited: Analytical study... - ScienceDirect
• Analytical and numerical modeling of surface deformation... - Wiley Online Library
• Nikkhoo, M., Walter, T. R., Lundgren, P., & Prats-Iraola, P. (2017). Compound dislocation models (CDMs) for volcano deformation analyses. Geophysical Journal International, 208(2), 877–894. - Oxford Academic
• Stern, C. R. (2004). Active Andean volcanism: its geologic and tectonic setting. Revista Geológica de Chile, 31(2). - SciELO Chile
• Modelización Analítica de la Deformación Volcánica... - Digital.CSIC
• Deformation results from pressurization of a Mogi source model - USGS
• Mogi Model - rdrr.io

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