Desxifrant la Paràbola: Localització de Punts Clau en la Funció \( f(x) = -2(x - 1)(x + 1) \)

Una guia pas a pas per identificar el vèrtex i un altre punt significatiu d'aquesta funció quadràtica.

La funció que ens proposes, \( f(x) = -2(x - 1)(x + 1) \), és una funció quadràtica. La seva representació gràfica és una paràbola. Per situar dos punts d'aquesta funció, un dels quals ha de ser el vèrtex, seguirem un procés analític detallat.

Punts Essencials a Destacar

El vèrtex de la paràbola \( f(x) = -2(x - 1)(x + 1) \) es troba en el punt (0, 2). Aquest és el punt màxim de la funció, ja que la paràbola s'obre cap avall.
La funció es pot expressar en forma estàndard com \( f(x) = -2x^2 + 2 \). Aquesta forma ens ajuda a identificar ràpidament el coeficient principal i el terme independent.
Un segon punt adequat, a més del vèrtex, pot ser una de les seves arrels, com (1, 0) o (-1, 0). Aquests punts són on la paràbola talla l'eix X.

Anàlisi Detallada de la Funció Quadràtica

La funció donada \( f(x) = -2(x - 1)(x + 1) \) està en la seva forma factoritzada, \( f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \), on \( r_1 \) i \( r_2 \) són les arrels (o zeros) de la funció i \( a \) és el coeficient principal.

Identificació de les Arrels

Les arrels són els valors de \( x \) per als quals \( f(x) = 0 \). En la forma factoritzada, aquestes es troben fàcilment:

Si \( x - 1 = 0 \), llavors \( x = 1 \).
Si \( x + 1 = 0 \), llavors \( x = -1 \).

Per tant, les arrels de la funció són \( x_1 = 1 \) i \( x_2 = -1 \). Això significa que la paràbola talla l'eix X en els punts (1, 0) i (-1, 0).

Càlcul del Vèrtex de la Paràbola

El vèrtex d'una paràbola és el seu punt més alt o més baix. La coordenada X del vèrtex (\( x_v \)) es troba exactament a mig camí entre les dues arrels.

Coordenada X del Vèrtex (\( x_v \))

\[ x_v = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]

Coordenada Y del Vèrtex (\( y_v \))

Per trobar la coordenada Y del vèrtex (\( y_v \)), substituïm \( x_v = 0 \) en la funció original:

\[ y_v = f(0) = -2(0 - 1)(0 + 1) = -2(-1)(1) = 2 \]

Així, el vèrtex de la paràbola és el punt (0, 2). Aquest és el primer punt que necessitàvem situar.

Exemple d'una paràbola que s'obre cap avall, similar a la funció analitzada.

Exemple visual d'una paràbola amb concavitat cap avall, il·lustrant el concepte de vèrtex com a punt màxim.

Expansió a la Forma Estàndard

També podem expressar la funció en la seva forma estàndard \( f(x) = ax^2 + bx + c \) expandint el producte:

\[ f(x) = -2(x - 1)(x + 1) \] \[ f(x) = -2(x^2 + x - x - 1) \] \[ f(x) = -2(x^2 - 1) \] \[ f(x) = -2x^2 + 2 \]

En aquesta forma, tenim \( a = -2 \), \( b = 0 \), i \( c = 2 \). El coeficient \( a = -2 \) és negatiu, la qual cosa confirma que la paràbola s'obre cap avall (és còncava cap avall) i, per tant, el vèrtex (0, 2) és un punt màxim.

Si utilitzem la fórmula del vèrtex per a la forma estàndard, \( x_v = -\frac{b}{2a} \):

\[ x_v = -\frac{0}{2(-2)} = -\frac{0}{-4} = 0 \]

I \( y_v = f(0) = -2(0)^2 + 2 = 2 \). Això confirma el nostre càlcul anterior del vèrtex (0, 2).

Selecció del Segon Punt

El problema demana situar dos punts, sent un d'ells el vèrtex (0, 2). Per al segon punt, podem triar qualsevol altre punt que pertanyi a la funció. Les opcions més naturals i informatives solen ser les arrels, ja que defineixen on la paràbola creua l'eix X.

Podem escollir una de les arrels que ja hem identificat:

Punt Arrel 1: (1, 0)
Punt Arrel 2: (-1, 0)

Alternativament, podríem calcular un altre punt qualsevol. Per exemple, si \( x = 2 \):

\[ f(2) = -2(2 - 1)(2 + 1) = -2(1)(3) = -6 \]

Això ens donaria el punt (2, -6). Per simplicitat i rellevància, escollirem una de les arrels com el nostre segon punt.

Per tant, els dos punts que situen la funció, amb un d'ells sent el vèrtex, són:

Punt 1 (Vèrtex): (0, 2)
Punt 2 (Arrel): (1, 0)

Visualització de les Característiques de la Funció

Per entendre millor la funció \( f(x) = -2(x-1)(x+1) \), podem resumir les seves propietats clau en una taula:

Característica	Valor / Descripció	Mètode de Càlcul / Observació
Forma Factoritzada	\( f(x) = -2(x-1)(x+1) \)	Donada inicialment
Forma Estàndard	\( f(x) = -2x^2 + 2 \)	Expansió de la forma factoritzada
Coeficient Principal (a)	\( -2 \)	Indica concavitat cap avall
Arrels (Zeros)	\( x = 1 \), \( x = -1 \)	On els factors \( (x-1) \) i \( (x+1) \) són zero
Punts d'intersecció amb l'eix X	\( (1,0) \) i \( (-1,0) \)	On \( f(x) = 0 \)
Vèrtex \( (x_v, y_v) \)	\( (0,2) \)	\( x_v = \frac{r_1+r_2}{2} \), \( y_v = f(x_v) \) o \( x_v = -\frac{b}{2a} \), \( y_v = f(x_v) \)
Eix de Simetria	\( x = 0 \) (l'Eix Y)	Recta vertical que passa pel vèrtex
Intersecció amb l'eix Y	\( (0,2) \)	Valor de \( f(0) \); coincideix amb el vèrtex en aquest cas
Punt Sol·licitat 1	Vèrtex: \( (0,2) \)	Càlcul específic del punt extrem de la paràbola
Punt Sol·licitat 2 (suggerit)	Arrel: \( (1,0) \)	Elecció d'un punt significatiu i fàcil d'identificar de la funció

Diagrama Mental: Anàlisi de la Funció Quadràtica

El següent diagrama mental resumeix l'estructura i les propietats clau de la funció \( f(x) = -2(x-1)(x+1) \) que hem analitzat. Ajuda a visualitzar les relacions entre les diferents formes de la funció, els seus components característics i els càlculs realitzats per trobar els punts sol·licitats.

mindmap root["Anàlisi de la Funció Quadràtica
f(x) = -2(x-1)(x+1)"] id1["Formes de la Funció"] id1a["Factoritzada:
f(x) = -2(x-1)(x+1)"] id1b["Estàndard (Polinòmica):
f(x) = -2x² + 2"] id2["Càlcul del Vèrtex (Punt Clau 1)"] id2a["Coordenada x (xv):
Mitjana de les arrels: (1 + (-1))/2 = 0
O bé: -b/(2a) = -0/(2*(-2)) = 0"] id2b["Coordenada y (yv):
f(xv) = f(0) = -2(0-1)(0+1) = 2"] id2c["Vèrtex: (0, 2)"] id3["Selecció del Segon Punt (Punt Clau 2)"] id3a["Opció 1: Arrels de la funció"] id3a1["x - 1 = 0 => x = 1 => Punt (1, 0)"] id3a2["x + 1 = 0 => x = -1 => Punt (-1, 0)"] id3b["Opció 2: Qualsevol altre punt"] id3b1["Exemple: x = 2
f(2) = -2(2-1)(2+1) = -6
Punt (2, -6)"] id4["Propietats de la Paràbola"] id4a["Concavitat: Cap avall (a = -2 < 0)"] id4b["Arrels (interseccions eix X):
(-1, 0) i (1, 0)"] id4c["Intersecció eix Y:
(0, 2) (coincideix amb el vèrtex)"] id4d["Eix de Simetria:
x = 0 (l'eix Y)"] id5["Representació Gràfica"] id5a["Situar el vèrtex (0,2)"] id5b["Situar el segon punt (p.ex., (1,0))"] id5c["Dibuixar la paràbola simètrica
que passa per aquests punts"]

Comparativa de les Formes de Funcions Quadràtiques

Les funcions quadràtiques es poden expressar en diverses formes (estàndard, vèrtex, factoritzada). Cadascuna té avantatges per identificar certes propietats de la paràbola. El gràfic de radar següent compara la facilitat relativa per extreure informació clau de cada forma. Les puntuacions són orientatives (escala de 4 a 10, on 10 és la màxima facilitat).

Com es pot observar, la forma factoritzada, com la de la funció \( f(x) = -2(x-1)(x+1) \), és ideal per trobar les arrels directament. La forma vèrtex, \( f(x) = a(x-h)^2+k \), permet llegir el vèrtex \( (h,k) \) immediatament. La forma estàndard, \( f(x) = ax^2+bx+c \), ens dóna directament la intersecció amb l'eix Y (el terme \( c \)). La nostra funció original \( f(x) = -2x^2+2 \) té \( b=0 \), la qual cosa simplifica el càlcul del vèrtex i fa que la intersecció Y coincideixi amb el vèrtex.

Preguntes Freqüents (FAQ)

Què és una funció quadràtica?

Una funció quadràtica és una funció polinòmica de grau dos. La seva forma general és \( f(x) = ax^2 + bx + c \), on \( a \), \( b \), i \( c \) són constants reals i \( a \neq 0 \). La seva representació gràfica és una corba anomenada paràbola.

Com afecta el coeficient 'a' a la forma de la paràbola?

El coeficient \( a \) determina la concavitat i l'amplada de la paràbola:

Si \( a > 0 \), la paràbola s'obre cap amunt (còncava cap amunt) i el vèrtex és un punt mínim.
Si \( a < 0 \) (com en el nostre cas, \( a = -2 \)), la paràbola s'obre cap avall (còncava cap avall) i el vèrtex és un punt màxim.
El valor absolut de \( a \) afecta l'amplada: com més gran és \( |a| \), més estreta és la paràbola; com més petit és \( |a| \), més ampla és.

Per què és important el vèrtex d'una paràbola?

El vèrtex és un punt crucial perquè representa el valor màxim o mínim de la funció quadràtica. També és el punt on la paràbola canvia de direcció (de creixent a decreixent, o viceversa). L'eix de simetria de la paràbola passa sempre pel vèrtex.

Puc triar qualsevol altre punt com a segon punt per representar la funció?

Sí, un cop tens el vèrtex, pots triar qualsevol altre valor de \( x \), substituir-lo a la funció \( f(x) \) per trobar el valor corresponent de \( y \), i així obtenir un altre punt \( (x, y) \) de la paràbola. Les arrels són sovint escollides per la seva importància conceptual, però qualsevol punt de la corba és vàlid. Per exemple, si \( x=2 \), \( f(2)=-6 \), així que (2,-6) també és un punt de la funció.