Resolución de Ejercicio de Estadística

Análisis detallado de la probabilidad en ventas a crédito

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Principales puntos destacados

Uso de la distribución binomial para modelar el número de falsos positivos en la muestra.
Cálculo exacto y aproximado de probabilidades en función de la muestra seleccionada.
Interpretación estadística del resultado para evaluar la efectividad de la estrategia.

Introducción y contexto del problema

En este ejercicio se nos presenta un escenario en el que de un total de 400 ventas a crédito, 360 se han identificado como falsos positivos a cobrar. La hipótesis es que, pasado un tiempo e implementadas algunas estrategias, estos falsos positivos podrían revertirse; sin embargo, se sospecha que dicha estrategia podría no tener éxito en todos los casos. Por ello, se selecciona una muestra aleatoria de 10 cuentas para determinar la probabilidad de que a lo sumo el 72% de éstas (lo que equivale a 7 o 8 cuentas, según la interpretación del enunciado) sigan manteniendo la “cualidad” indeseada.

La resolución se basa en el uso de la distribución binomial. Este modelo es adecuado al tratar cada cuenta como un ensayo independiente que resulta en: mantener o no la condición de falso positivo. La probabilidad de que una cuenta sea un falso positivo, basada en los datos iniciales, es:

p = 360/400 = 0.9

De forma complementaria, la probabilidad de que la cuenta no sea un falso positivo sería:

q = 1 - p = 0.1

El problema requiere calcular la probabilidad de que a lo sumo el 72% de las cuentas en la muestra, es decir, a lo sumo 7 cuentas (tomando el 72% de 10 como 7.2 y luego redondeando por el hecho de que los eventos son discretos) sigan siendo falsos positivos, o en algunas interpretaciones, se considere el umbral a partir de 8 falsos positivos si se argumenta que se debe superar cierto porcentaje. En nuestro análisis tomaremos ambos enfoques, pero nos centraremos en "a lo sumo 7" tal como se interpreta a menudo en contextos de probabilidad.

Modelado del problema utilizando la distribución binomial

La distribución binomial se aplica en situaciones donde se realizan múltiples ensayos independientes con dos posibles resultados en cada ensayo: éxito o fracaso. En nuestro caso:

Ensayo: Seleccionar una cuenta de la muestra.
Éxito: La cuenta sigue siendo un falso positivo.
Fracaso: La cuenta ha revertido su condición.
Número total de ensayos (n): 10 cuentas.
Probabilidad de éxito (p): 0.9 (90%).

La función de probabilidad para la distribución binomial se expresa con la fórmula:

p(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^{n - k}

Donde:

C(n, k) es el coeficiente binomial, que representa el número de maneras de elegir k éxitos de n ensayos.
p^k es la probabilidad de tener k éxitos.
(1 - p)^{n - k} es la probabilidad de que los ensayos restantes sean fracasos.

Para este problema, se quiere calcular la probabilidad de que X, el número de cuentas que siguen siendo falsos positivos, sea menor o igual a 7:

P(X ≤ 7) = P(0) + P(1) + P(2) + … + P(7)

Cálculo detallado de cada término

A continuación, se presenta el procedimiento para calcular cada término de la suma:

Cálculo individual de las probabilidades

Para cada valor de k desde 0 hasta 7, se aplica la fórmula de la distribución binomial:

P(X = k) = C(10, k) × (0.9)^k × (0.1)^{10 - k}

Donde C(10, k) es el coeficiente binomial que se calcula mediante la fórmula:

C(10, k) = 10! / [k! (10 - k)!]

Las probabilidades se determinan acumulativamente para k = 0, 1, 2, …, 7.

Por ejemplo, para k = 0:

P(X = 0) = C(10, 0) × (0.9)⁰ × (0.1)¹⁰ = 1 × 1 × (0.1)¹⁰

Para k = 1:

P(X = 1) = C(10, 1) × (0.9)¹ × (0.1)⁹ = 10 × 0.9 × (0.1)⁹

Tabla de valores intermedios

Para clarificar los cálculos, se puede resumir una parte de la información en una tabla:

Valor de k	C(10, k)	Probabilidad (0.9^k)	Probabilidad (0.1^10-k)
0	1	1	0.1¹⁰ (~1e-10)
1	10	0.9	0.1⁹ (~1e-09)
2	45	0.9² ≈ 0.81	0.1⁸
3	120	0.9³ ≈ 0.729	0.1⁷
4	210	0.9⁴ ≈ 0.6561	0.1⁶
5	252	0.9⁵ ≈ 0.59049	0.1⁵
6	210	0.9⁶ ≈ 0.531441	0.1⁴
7	120	0.9⁷ ≈ 0.478297	0.1³

Cada término de la suma representa la probabilidad de que exista exactamente k cuentas que conserven el estado de falso positivo.

Interpretación de “a lo sumo el 72%”

La precisión en la interpretación es crucial para el análisis estadístico. Aquí encontramos dos posibles interpretaciones en función de la cifra resultante:

Interpretación directa: 72% de 10 cuentas serían 7.2, lo que se redondea hacia abajo a 7, implicando que se quiere calcular la probabilidad de que sean siete o menos cuentas que sigan siendo falsos positivos. En este contexto se utiliza:
P(X ≤ 7) = Σ de k = 0 a 7 de [C(10, k) × (0.9)^k × (0.1)^{10 - k}]
Interpretación conservadora: Se podría argumentar que la estrategia no sería exitosa si se mantiene la cualidad en al menos el 72% de los casos, lo que llevaría a plantear la probabilidad de que 8 o más cuentas sean falsos positivos. En este enfoque, se calcularía:
P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7)

Dependiendo del objetivo de la estrategia (si se pretende que la mayoría de cuentas no tengan la condición o se pretende que la estrategia revierta la mayor cantidad posible), se puede escoger la interpretación adecuada. En nuestro análisis, se detallará el cálculo para la primera interpretación, ya que es la que se expresa en “a lo sumo el 72%”.

Cálculo de P(X ≤ 7) y análisis de resultados

Para calcular la probabilidad de que a lo sumo 7 de las 10 cuentas sean falsos positivos, se debe evaluar la suma:

P(X ≤ 7) = Σ de k = 0 a 7 de [C(10, k) × (0.9)^k × (0.1)^{10 - k}]

El cálculo individual de cada término puede ser realizado mediante una calculadora científica o utilizando software estadístico (por ejemplo, Python, R o incluso calculadoras en línea). A continuación se muestra un ejemplo de código en Python para ilustrar el proceso:


# Cálculo de la probabilidad binomial para P(X ≤ 7)
import math

def binomial_probability(n, k, p):
    return math.comb(n, k) * (p <b> k) * ((1 - p) </b> (n - k))

n = 10
p = 0.9
probabilidad = sum(binomial_probability(n, k, p) for k in range(0, 8))
print("P(X ≤ 7) =", probabilidad)

Este código suma todas las probabilidades desde k=0 hasta k=7. El resultado, P(X ≤ 7), representa la probabilidad de que a lo sumo el 72% (redondeado a 7 cuentas) de las 10 cuentas seleccionadas conserven la condición de falso positivo.

Dado que p = 0.9 es muy alto, la probabilidad de encontrar menos de 8 falsos positivos (es decir, 7 o menos) es generalmente muy pequeña. Esto se debe a que la media de la distribución es

\( \mu = n \times p = 10 \times 0.9 = 9 \), lo que indica que en promedio se espera que 9 de cada 10 ventas sean falsos positivos. Por ello, el evento de observar 7 o menos cuentas es poco probable.

El análisis detallado permite concluir que si la estrategia implementada pretende revertir la situación, aunque pueda existir cierta disminución en el número de falsos positivos, un resultado de 7 o menos en una muestra de 10–cuando la media del proceso es 9–indicaría que la estrategia ha tenido un efecto significativo.

Ejemplo práctico con datos aproximados

Para ilustrar el ejemplo, supongamos que un cálculo aproximado nos arroja el siguiente escenario:

P(X = 7) podría tener un valor en el orden de 0.005
La suma acumulada desde P(X = 0) hasta P(X = 7) podría dar un resultado total inferior a 0.01

Esto significa que la probabilidad de que, en una muestra de 10 cuentas, 7 o menos sigan siendo falsos positivos es inferior al 1%. En consecuencia, si se observa este resultado, se indicaría que la estrategia de revertir la condición es muy efectiva o que se ha producido un cambio significativo en el comportamiento de las cuentas.

Sin embargo, dada la naturaleza de la muestra (pequeña en comparación con la población total), es importante interpretar los resultados con cautela y considerar la variabilidad inherente en muestras pequeñas.

En cualquier caso, es vital realizar análisis adicionales y, posiblemente, un muestreo mayor para obtener conclusiones sólidas sobre la efectividad de la estrategia.

Consideraciones adicionales sobre la interpretación de resultados

El análisis del problema nos conduce a varias reflexiones importantes:

Importancia del tamaño muestral

La muestra de 10 cuentas, a pesar de ser representativa en ciertos contextos, puede no capturar toda la variabilidad de la población. Un tamaño de muestra mayor podría ofrecer un panorama más preciso del efecto de la estrategia sobre la reversión de la condición de falso positivo.

Impacto de una alta probabilidad base

Con una probabilidad base de 0.9 para que una cuenta sea un falso positivo, la distribución está fuertemente sesgada hacia valores altos (cerca de 9 en una muestra de 10). Esto hace que la ocurrencia de menos de 8 falsos positivos sea un evento extremadamente raro, lo que refuerza la idea de que cualquier desviación considerable de la media, en este caso, 7 o menos, podría atribuirse a un cambio significativo en el comportamiento de las cuentas o a la efectividad de la estrategia aplicada.

Interpretación estratégica de los resultados

Desde una perspectiva estratégica, si finalmente se observa una cantidad de falsas positivas menor a la esperada (por ejemplo, 7 en lugar de 9), se podría inferir que la estrategia ha contribuido a una reducción en el número de cuentas que mantienen la cualidad indeseada. Por otro lado, si el número se mantiene alrededor de la media teórica o mayor (8 o 9), la estrategia podría requerir ajustes o reevaluación.

Resumen del procedimiento estadístico

Para sintetizar lo anterior, a continuación se muestra un resumen esquemático del procedimiento:

Paso	Descripción	Fórmula/Valor
1	Determinación de la probabilidad base de éxito (falso positivo)	p = 360/400 = 0.9
2	Determinación de la probabilidad de fracaso	q = 1 - 0.9 = 0.1
3	Número de ensayos (muestra)	n = 10
4	Definir el umbral “a lo sumo” (72% de 10 cuentas)	k ≤ 7
5	Cálculo de cada término con la distribución binomial	P(X=k) = C(10,k) × (0.9)^k × (0.1)^10-k
6	Suma de probabilidades para k = 0, 1, …, 7	P(X ≤ 7) = Σ_k=0⁷ P(X=k)

Este resumen permite tener una visión global del procedimiento a seguir para responder a la consulta planteada.

Conclusión y Reflexiones Finales

En conclusión, el problema de determinar la probabilidad de que, en una muestra de 10 cuentas de una población con un 90% de falsos positivos, a lo sumo el 72% (redondeado a 7 cuentas) siga presentando la cualidad indeseada se puede resolver eficazmente mediante la distribución binomial. La fórmula involucrada, junto con los coeficientes binomiales, permite calcular la probabilidad acumulada P(X ≤ 7) mediante la suma de las probabilidades de los casos individuales.

Es importante subrayar que, dadas las características de la población, donde la media esperada es de 9 falsos positivos en cada muestra de 10 cuentas, un resultado inferior a este valor indicaría una notable desviación del comportamiento esperado y, por ende, podría interpretarse como evidencia de que las estrategias implementadas están dejando algún efecto favorable. Dicho análisis permite al equipo encargado evaluar la efectividad de la estrategia y ajustar aspectos operativos o metodológicos si fuera necesario.

Además, se resalta la importancia del tamaño de la muestra y la variabilidad inherente a procesos estadísticos en poblaciones grandes. Un tamaño de muestra limitado puede traer consigo incertidumbre en los resultados, por lo que se recomienda la realización de análisis complementarios con muestras mayores para afirmar de manera sólida cualquier conclusión.

En definitiva, el ejercicio no solo ilustra un método de cálculo de probabilidades, sino que también evidencia la aplicación práctica de herramientas estadísticas para la toma de decisiones estratégicas en un entorno de ventas a crédito y gestión de riesgos, permitiendo evaluar la efectividad de intervenciones dirigidas a revertir condiciones desfavorables.