Análise de Circuito Trifásico em Sistema Y

Cálculos detalhados da tensão, corrente e potência em uma rede trifásica equilibrada

Principais Insights

Tensão de fase de referência: A tensão de fase na carga é fixada em 2.400 V, adotada como referência com ângulo zero.
Soma das impedâncias: O cálculo da impedância total por fase considera a soma da impedância da carga, da linha e da fonte, com a conversão de números complexos para forma polar facilitando a análise.
Cálculos de queda e regeneração de tensão: A determinação da corrente de fase, seguida pelas quedas de tensão na linha e impedância interna, permite computar a tensão interna do gerador e a tensão linha-linha, além da potência trifásica entregue.

Introdução

Neste artigo, realizaremos uma análise completa para um circuito trifásico equilibrado conectado em sistema Y. O problema apresenta uma tensão de fase de 2.400 V nos terminais da carga, com a carga possuindo uma impedância complexa de 16 + j12 Ω por fase. A linha que alimenta a carga possui uma impedância de 0,10 + j0,8 Ω por fase e a fonte tem uma impedância interna de 0,02 + j0,16 Ω por fase. A sequência de fases é acb, e a tensão de fase da carga no terminal “fase a” é usada como referência (ângulo 0°).

Metodologia e Cálculos

1. Cálculo da Impedância Total por Fase

Dados do Problema

Os valores fornecidos para cada elemento por fase são:

Tensão de fase na carga: 2.400 V (referência com ângulo 0°)
Impedância da carga: Z_carga = 16 + j12 Ω
Impedância da linha: Z_linha = 0,10 + j0,8 Ω
Impedância interna da fonte: Z_fonte = 0,02 + j0,16 Ω

Como os elementos encontram-se em série, a impedância total por fase é calculada através da soma:

$$ Z_{total} = Z_{carga} + Z_{linha} + Z_{fonte} $$

Substituindo os valores:

$$ Z_{total} = (16 + j12) + (0,10 + j0,8) + (0,02 + j0,16) $$

Somando os componentes reais e imaginários separadamente:

Parte Real: 16 + 0,10 + 0,02 = 16,12 Ω
Parte Imaginária: 12 + 0,8 + 0,16 = 12,96 Ω

Assim, Z_total = 16,12 + j12,96 Ω.

Conversão para Forma Polar

Para facilitar os cálculos envolvendo multiplicações e divisões, convertemos a impedância total para a forma polar:

$$ |Z_{total}| = \sqrt{(16,12)^2 + (12,96)^2} $$

Realizando os cálculos:

$(16,12)^2 \approx 259,85$
$(12,96)^2 \approx 168,13$

$$ |Z_{total}| \approx \sqrt{259,85 + 168,13} = \sqrt{427,98} \approx 20,69 \, \Omega $$

O ângulo de defasagem da impedância é:

$$ \theta_Z = \arctan\left(\frac{12,96}{16,12}\right) \approx \arctan(0,804) \approx 38,7^\circ $$

Portanto, a impedância total por fase é aproximadamente: 20,69 ∠38,7° Ω.

2. Cálculo da Corrente de Fase

Utilizando a Lei de Ohm

Com a tensão de fase na carga definida como 2.400∠0° V e a impedância total determinada, aplicamos a Lei de Ohm:

$$ I_{fase} = \frac{V_{fase}}{Z_{total}} $$

Sendo:

$$ I_{fase} = \frac{2400 \angle 0^\circ}{20,69 \angle 38,7^\circ} = \frac{2400}{20,69} \angle (0^\circ - 38,7^\circ) $$

Calculando a magnitude: $\frac{2400}{20,69} \approx 115,9 \, A$

Defasagem: $-38,7^\circ$

Portanto, a corrente de fase é: 115,9∠–38,7° A.

3. Cálculo da Tensão de Linha na Carga

Relação Tensão de Linha e Tensão de Fase

Em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y, a tensão de linha (entre fases) é definida por:

$$ V_{linha} = \sqrt{3} \times V_{fase} $$

Substituindo a tensão de fase de 2.400 V:

$$ V_{linha} \approx \sqrt{3} \times 2400 \approx 1,732 \times 2400 \approx 4157 \, V $$

Assim, a tensão de linha na carga é aproximadamente: 4157 V.

4. Cálculo da Corrente de Linha

Identidade entre Corrente de Fase e Linha

Em sistemas trifásicos equilibrados ligados em Y, os valores da corrente de linha e a corrente de fase são idênticos em módulo. Assim, a corrente de linha é:

$$ I_{linha} = I_{fase} = 115,9 \, A $$

5. Cálculo da Tensão Interna do Gerador (Tensão de Fase na Fonte)

Determinação das Quedas de Tensão

Para encontrar a tensão interna do gerador, é necessário considerar as quedas de tensão ao longo dos elementos em série que se encontram entre a fonte e os terminais da carga. Em particular, a queda de tensão na impedância da linha e na impedância interna da fonte afeta a tensão de fase que aparece nos terminais de gerador.

A tensão interna do gerador por fase (V_{fase_fonte}) pode ser determinada como:

$$ V_{fase\_fonte} = V_{fase\_carga} + I_{fase} \times (Z_{linha} + Z_{fonte}) $$

Cálculo da Queda de Tensão em Z_linha e Z_fonte

Primeiro, somamos as impedâncias da linha e da fonte:

$$ Z_{total\_fonte} = Z_{linha} + Z_{fonte} = (0,10 + j0,8) + (0,02 + j0,16) = 0,12 + j0,96 \, \Omega $$

Convertendo essa impedância para a forma polar:

$$ |Z_{total\_fonte}| = \sqrt{(0,12)^2 + (0,96)^2} \approx \sqrt{0,0144 + 0,9216} \approx \sqrt{0,936} \approx 0,968 \, \Omega $$

O ângulo associado é:

$$ \theta_{fonte} = \arctan\left(\frac{0,96}{0,12}\right) \approx \arctan(8) \approx 82,82^\circ $$

Em seguida, a queda de tensão (V_drop) é:

$$ V_{drop} = I_{fase} \times Z_{total\_fonte} $$

Com a corrente de fase determinada anteriormente:

$$ V_{drop} = 115,9 \angle -38,7^\circ \times 0,968 \angle 82,82^\circ $$

Multiplicando os módulos e somando os ângulos:

$$ |V_{drop}| \approx 115,9 \times 0,968 \approx 112,3 \, V $$

$$ \theta_{drop} \approx -38,7^\circ + 82,82^\circ \approx 44,12^\circ $$

Assim, a queda de tensão é: 112,3 ∠44,12° V.

Determinação da Tensão Interna do Gerador

Agora, somamos a tensão de fase na carga com a queda de tensão para obter a tensão interna do gerador:

$$ V_{fase\_fonte} = 2400 \angle 0^\circ + 112,3 \angle 44,12^\circ $$

Para somar estas grandezas é conveniente convertê-las para a forma retangular:

Para a queda de tensão:

$V_{drop,x} = 112,3 \cos 44,12^\circ \approx 112,3 \times 0,717 \approx 80,5 \, V$
$V_{drop,y} = 112,3 \sin 44,12^\circ \approx 112,3 \times 0,697 \approx 78,3 \, V$

Portanto: $V_{drop} \approx 80,5 + j78,3 \, V$

Sendo que a tensão de fase na carga é 2400 V com representação retangular: $2400 + j0 \, V$.

Somando:

$$ V_{fase\_fonte} \approx (2400 + 80,5) + j(0 + 78,3) = 2480,5 + j78,3 \, V $$

Convertendo esta forma retangular para forma polar:

Módulo:

$$ |V_{fase\_fonte}| = \sqrt{2480,5^2 + 78,3^2} \approx \sqrt{6.152 \times 10^6 + 6133} \approx 2481 \, V $$

Ângulo:

$$ \theta_{fonte} = \arctan\left(\frac{78,3}{2480,5}\right) \approx \arctan(0,0316) \approx 1,80^\circ $$

Logo, a tensão interna do gerador por fase é:

2481 ∠1,80° V.

6. Cálculo da Tensão Linha-Linha do Gerador

Relação entre Tensão de Fase e Linha

Em uma conexão em Y, a tensão entre fases (por exemplo, V_ab) é obtida multiplicando a tensão de fase do gerador pela constante √3 e adicionando um deslocamento de 30°:

$$ V_{ab} = \sqrt{3} \times V_{fase\_fonte} \angle ( \theta_{fonte} + 30^\circ) $$

Substituindo os valores encontrados:

Módulo:

$$ |V_{ab}| = 2481 \times 1,732 \approx 4298 \, V $$

Ângulo:

$$ \theta_{ab} \approx 1,80^\circ + 30^\circ = 31,80^\circ $$

Assim, a tensão linha-linha do gerador é aproximadamente: 4298 ∠31,8° V.

7. Cálculo da Potência Trifásica Ativa Fornecida à Carga

Fórmula da Potência em Sistema Trifásico

A potência ativa total em um sistema trifásico equilibrado pode ser calculada pela expressão:

$$ P_{total} = 3 \times V_{fase\_carga} \times I_{fase} \times \cos\phi $$

Onde:

$V_{fase\_carga} = 2400 \, V$
$I_{fase} = 115,9 \, A$
$\phi$ é o ângulo de defasagem da impedância da carga.

Para a impedância da carga, temos:

$$ Z_{carga} = 16 + j12 \, \Omega $$

O ângulo de defasagem é:

$$ \phi = \arctan\left(\frac{12}{16}\right) = \arctan(0,75) \approx 36,87^\circ $$

Portanto, o fator de potência é:

$$ \cos(36,87^\circ) \approx 0,8 $$

Substituindo os valores:

$$ P_{total} \approx 3 \times 2400 \times 115,9 \times 0,8 $$

Para um cálculo aproximado:

Primeiro: $2400 \times 115,9 \approx 278160$
Multiplicando por 0,8: $278160 \times 0,8 \approx 222528$
Finalmente, multiplicando por 3: $222528 \times 3 \approx 667584 \, W$

Logo, a potência ativa total fornecida à carga é: 667,6 kW.

Resumo dos Resultados

Grandeza	Valor Aproximado	Unidade
Tensão de fase na carga	2400 ∠0°	V
Impedância Total por Fase	20,69 ∠38,7°	Ω
Corrente de Fase/ Linha	115,9 ∠–38,7°	A
Tensão de Linha na Carga	4157	V
Tensão Interna do Gerador (Fase)	2481 ∠1,80°	V
Tensão Linha-Linha do Gerador	4298 ∠31,8°	V
Potência Ativa Total	667,6	kW

Discussão Detalhada e Análise dos Resultados

A resolução deste problema considera minuciosamente a integração das impedâncias dos vários componentes que compõem o sistema trifásico. Ao definir a tensão de fase dos terminais da carga como 2.400 V com referência a 0°, estabeleceu-se uma base para trabalhar com as grandezas complexas dos demais elementos.

Primeiramente, a soma das impedâncias da carga, linha e fonte resultou em uma impedância total efetiva de aproximadamente 20,69 Ω, com uma fase defasada em 38,7°. Este ângulo representa a composição dos elementos reais e imaginários, onde os componentes resistivos e reativos da carga, juntamente com os efeitos reais das quedas de tensão na linha e na fonte, influenciam a defasagem da corrente.

Utilizando a Lei de Ohm, a corrente de fase calculada foi de aproximadamente 115,9 A, defasada em –38,7° em relação à tensão de fase na carga. Este resultado é consistente com as perdas de energia e a natureza da impedância composta, onde a defasagem negativa indica que a corrente está atrasada em relação à tensão.

O cálculo da tensão de linha na carga (aproximadamente 4157 V) mostrou a importância da relação entre tensões de fase e tensões linha-linha em sistemas trifásicos conectados em Y. A multiplicação da tensão de fase por √3 reflete as inter-relações geométricas entre as fases do sistema.

Na etapa seguinte, o estudo detalhado da tensão interna do gerador revelou como a queda de tensão devido à impedância da linha e da fonte afeta a tensão efetiva no barramento do gerador. A adição vetorial dos valores (convertendo os números complexos para a forma retangular e somando os componentes) permitiu obter uma tensão interna de aproximadamente 2481 V com um ângulo de 1,80°. Este pequeno ângulo positivo indica que a tensão gerada tem um leve avanço em relação à referência utilizada na carga.

A tensão linha-linha do gerador foi então determinada, usando a relação típica em sistema Y, chegando a um valor aproximado de 4298 V e um ângulo de 31,8° quando se adiciona 30° à defasagem da tensão interna. Este valor é representativo da tensão que seria medida entre as fases do sistema de alimentação.

Por fim, o cálculo da potência ativa total fornecida à carga envolveu a determinação do ângulo de defasagem da impedância da carga (36,87°), cujo cosseno é aproximadamente 0,8, refletindo um sistema com moderada componente reativa. A fórmula da potência ativa para sistemas trifásicos levou ao resultado de 667,6 kW, representando a energia efetivamente dissipada pela carga.

Conclusão e Considerações Finais

Este estudo apresenta uma análise completa de um circuito trifásico equilibrado em configuração Y. Os cálculos detalhados, desde a soma das impedâncias até a determinação da corrente, da tensão interna do gerador e da potência ativa, ilustram a necessidade de manipular números complexos e realizar conversões adequadas entre as formas retangular e polar. Cada etapa do procedimento é essencial para garantir que se capte o comportamento real do sistema sob análise.

Os resultados obtidos foram:

Tensão de fase na carga: 2400 V (referência, 0°)
Impedância total por fase: 20,69 ∠38,7° Ω
Corrente de fase e corrente de linha: 115,9 ∠–38,7° A
Tensão de linha na carga: 4157 V
Tensão interna do gerador (tensão de fase): 2481 ∠1,80° V
Tensão linha-linha do gerador: 4298 ∠31,8° V
Potência ativa total: 667,6 kW

Esses resultados demonstram a importância de considerar todas as contribuições de impedâncias no circuito, bem como a correta utilização de fórmulas para sistemas trifásicos. A metodologia aplicada mostra como as quedas de tensão em diferentes componentes influenciam a tensão interna do gerador e, por consequência, a tensão que é efetivamente entregue à carga.

Assim, a análise apresentada é capaz de suprir as exigências de precisão para exames técnicos ou concursos, garantindo que os valores calculados sejam confiáveis mesmo diante de pequenas variações em arredondamentos numéricos.