Análise Completa de Circuito Trifásico Equilibrado com Sequência acb
Cálculo detalhado de correntes e tensões na carga e fonte
Principais Destaques
- Corrente de Fase da Carga: Determinada pela tensão de 2400 V e impedância de 16+j12 Ω, resultando em 120∠–36,87° A.
- Queda de Tensão Extra: A soma das impedâncias da linha e fonte gera uma queda de tensão com módulo próximo de 116 V e ângulo de aproximadamente 46°.
- Tensão de Envio: Somando a tensão na carga e a queda extra, encontra-se a tensão de fase na fonte, que ao multiplicar por √3 fornece a tensão de linha no envio, com sequência acb aplicada.
Introdução
O problema em análise trata de uma carga trifásica equilibrada conectada em Y, alimentada por uma linha com impedância definida e uma impedância interna da fonte. Considerando a tensão de fase na carga igual a 2400 V, a análise detalhada requer o cálculo dos seguintes parâmetros:
- A corrente de fase na carga.
- A queda de tensão na linha resultante da impedância da linha e da impedância interna da fonte.
- A tensão de fase na fonte (ou tensão de envio) obtida somando a tensão aplicada à carga com a queda de tensão.
- A conversão da tensão de fase na fonte para a tensão de linha levando em conta uma conexão em Y, com a sequência acb.
Todos os cálculos serão realizados considerando a abordagem “por fase”. É importante notar que o sistema é trifásico equilibrado; portanto, os resultados para uma fase podem ser espelhados nas demais, com o devido ajuste nos ângulos para refletir a sequência acb.
Análise e Cálculos
1. Cálculo da Corrente de Fase na Carga
Determinação da Impedância da Carga
A tensão de fase nos terminais da carga é fornecida como 2400 V. A impedância de carga por fase é dada por:
Zcarga = 16 + j12 Ω
O módulo desta impedância é calculado como:
$$ |Z_{carga}| = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \, \Omega $$
enquanto o ângulo de fase é:
$$ \theta_{carga} = \arctan\left(\frac{12}{16}\right) \approx 36,87^\circ $$
Assim, em forma polar, a impedância da carga pode ser expressa como:
Zcarga = 20∠36,87° Ω
Determinação da Corrente de Fase
Utilizando a Lei de Ohm, a corrente de fase na carga é:
$$ I_{fase} = \frac{V_{fase}}{Z_{carga}} = \frac{2400\angle 0^\circ \, V}{20\angle 36,87^\circ \, \Omega} $$
Efetuando a divisão:
$$ I_{fase} = 120\angle -36,87^\circ \, A $$
Dessa forma, a corrente em cada fase da carga tem módulo de 120 A e defasagem de -36,87° em relação à tensão de fase da carga.
2. Cálculo da Queda de Tensão na Linha e na Impedância Interna da Fonte
Impedância da Linha
A impedância da linha por fase é dada por:
Zlinha = 0,10 + j0,8 Ω
Calculando o módulo:
$$ |Z_{linha}| = \sqrt{0,10^2 + 0,8^2} = \sqrt{0,01 + 0,64} = \sqrt{0,65} \approx 0,806 \, \Omega $$
e o ângulo:
$$ \theta_{linha} = \arctan\left(\frac{0,8}{0,10}\right) \approx \arctan(8) \approx 82,82^\circ $$
Assim, expressamos:
Zlinha = 0,806∠82,82° Ω
Impedância Interna da Fonte
A impedância interna da fonte por fase é:
Zinterna = 0,02 + j0,16 Ω
Seu módulo é:
$$ |Z_{interna}| = \sqrt{0,02^2 + 0,16^2} = \sqrt{0,0004 + 0,0256} = \sqrt{0,026} \approx 0,161 \, \Omega $$
E o ângulo:
$$ \theta_{interna} = \arctan\left(\frac{0,16}{0,02}\right) \approx \arctan(8) \approx 82,82^\circ $$
Portanto:
Zinterna = 0,161∠82,82° Ω
Impedância Extra (Linha + Fonte)
Como a linha e a impedância interna da fonte estão em série, a impedância total "extra" é a soma:
Zextra = Zlinha + Zinterna = (0,10 + 0,02) + j(0,8 + 0,16) = 0,12 + j0,96 Ω
Calculando o módulo desta impedância:
$$ |Z_{extra}| = \sqrt{0,12^2 + 0,96^2} = \sqrt{0,0144 + 0,9216} = \sqrt{0,936} \approx 0,9677 \, \Omega $$
E o ângulo:
$$ \theta_{extra} = \arctan\left(\frac{0,96}{0,12}\right) \approx \arctan(8) \approx 82,9^\circ $$
Portanto, temos:
Zextra = 0,9677∠82,9° Ω
Queda de Tensão Extra
A queda de tensão no conjunto formado pela linha e a impedância interna, por fase, pode ser obtida multiplicando a corrente de fase:
$$ \Delta V_{extra} = I_{fase} \cdot Z_{extra} $$
Substituindo os valores:
$$ \Delta V_{extra} = 120\angle -36,87^\circ \, A \times 0,9677\angle 82,9^\circ \, \Omega $$
A multiplicação em formato polar envolve multiplicar os módulos e somar os ângulos:
Módulo: 120 × 0,9677 ≈ 116,12 V
Ângulo: (−36,87° + 82,9°) = 46,03°
Assim, a queda de tensão extra é:
$$ \Delta V_{extra} \approx 116,12 \angle 46,03^\circ \, V $$
3. Cálculo da Tensão de Envio (Fonte) por Fase
Somando a Tensão de Carga e a Queda Extra
Com a corrente fluindo da fonte para a carga, a tensão de envio (tensão de fase na fonte) é a soma da tensão na carga (nos terminais recebidos) e a queda extra de tensão:
$$ V_{fonte} = V_{fase\_carga} + \Delta V_{extra} $$
Em termos de números, com a referência da fase a da carga definida como 0°:
Vfase_carga = 2400∠0° V
$$ \Delta V_{extra} \approx 116,12\angle 46,03^\circ \, V $$
Para somar os números complexos, é conveniente converter para a forma retangular. A tensão de carga é puramente real:
| Parâmetro | Parte Real | Parte Imaginária |
|---|---|---|
| Vfase_carga | 2400 V | 0 V |
| ΔVextra | 116,12 × cos(46,03°) | 116,12 × sin(46,03°) |
Calculando:
cos(46,03°) ≈ 0,694, e sin(46,03°) ≈ 0,720.
Assim:
Parte real = 116,12 × 0,694 ≈ 80,53 V
Parte imaginária = 116,12 × 0,720 ≈ 83,61 V
Portanto, em forma retangular, a queda de tensão extra é aproximadamente:
ΔVextra ≈ 80,53 + j83,61 V
Agora, somando com a tensão da carga:
Vfonte = (2400 + 80,53) + j83,61 = 2480,53 + j83,61 V
Convertendo este valor para a forma polar:
Módulo:
$$ |V_{fonte}| = \sqrt{2480,53^2 + 83,61^2} \approx \sqrt{6.156\times10^6 + 6992} \approx 2482,2 \, V $$
Ângulo:
$$ \theta_{fonte} = \arctan\left(\frac{83,61}{2480,53}\right) \approx 1,93^\circ $$
Assim, a tensão de fase na fonte é:
$$ V_{fonte} \approx 2482,2\angle 1,93^\circ \, V $$
4. Conversão para Tensões de Linha na Fonte e Ajuste para Sequência acb
Relação Tensão de Linha e Tensão de Fase
Para sistemas conectados em Y, a tensão de linha é dada pela relação:
$$ V_{linha} = \sqrt{3} \cdot V_{fase} $$
Portanto, aplicando esta relação à tensão de fase na fonte:
$$ V_{linha\_fonte} = \sqrt{3} \cdot 2482,2 \angle 1,93^\circ \, V $$
Considerando que √3 ≈ 1,732, temos:
$$ V_{linha\_fonte} \approx 2482,2 \times 1,732 \angle 1,93^\circ \approx 4299,7 \angle 1,93^\circ \, V $$
Ajuste para a Sequência acb
Nesta análise, adotamos como referência a fase “a” na carga com tensão de 2400∠0° V. Em um sistema trifásico equilibrado com sequência padrão (abc), as tensões de fase seriam:
Va = 2400∠0° V, Vb = 2400∠–120° V, e Vc = 2400∠120° V.
Entretanto, a sequência fornecida é acb, o que implica que as fases serão ordenadas de forma diferente. A convenção para sequência acb pode ser obtida “rotacionando” as defasagens:
Por exemplo, tomando a fase “a” como referência:
- Fase a: 2482,2∠1,93° V
- Fase c: 2482,2∠(1,93° – 120°) = 2482,2∠–118,07° V
- Fase b: 2482,2∠(1,93° + 120°) = 2482,2∠121,93° V
Assim, as tensões de fase na fonte considerando a sequência acb são:
- Va,f = 2482,2∠1,93° V
- Vc,f = 2482,2∠–118,07° V
- Vb,f = 2482,2∠121,93° V
A tabela a seguir resume os valores calculados:
| Parâmetro | Módulo | Ângulo | Observações |
|---|---|---|---|
| Corrente de Fase na Carga | 120 A | -36,87° | Calculada a partir de Vₚ = 2400 V e Z = 16+j12 Ω |
| Impedância Extra (Linha + Fonte) | 0,9677 Ω | 82,9° | Soma das impedâncias da linha (0,10+j0,8 Ω) e fonte (0,02+j0,16 Ω) |
| Queda de Tensão Extra | 116,12 V | 46,03° | Obtida multiplicando a corrente de fase pela impedância extra |
| Tensão de Fase na Fonte | 2482,2 V | 1,93° | Soma da tensão da carga com a queda de tensão extra |
| Tensão de Linha na Fonte | 4299,7 V | 1,93° | Calculada por √3 times tensão de fase |
Discussão Detalhada dos Cálculos
Abordagem “Por Fase”
A análise foi efetuada “por fase”, ou seja, tratamos cada ramo do sistema trifásico isoladamente, assumindo o equilíbrio geral. Esta abordagem simplifica a análise, pois todos os cálculos para uma fase podem ser replicados para as demais considerando os devidos defasamentos. A escolha de referenciar a fase “a” da carga com um ângulo de 0° é comum e facilita o ajuste dos ângulos das demais fases quando se trata da conversão para a sequência acb.
Primeiramente, a tensão aplicada à carga (2.400 V) associada à impedância de 16+j12 Ω determina a corrente que circula pela carga. A conversão da impedância para o formato polar foi importante para determinar a magnitude e o ângulo. Uma vez obtida a corrente de 120∠–36,87° A, utilizou-se esse valor para calcular a queda de tensão na parte “extra” do circuito que é composta pela impedância da linha (0,10+j0,8 Ω) e a impedância interna da fonte (0,02+j0,16 Ω).
A soma desses dois elementos resulta numa impedância extra de 0,12+j0,96 Ω, cujo módulo e ângulo, respectivamente, são 0,9677 Ω e aproximadamente 82,9°. Multiplicando a corrente de 120 A por essa impedância em formato polar, obtém-se uma queda de tensão de 116,12 V com ângulo de 46,03°. Essa queda representa o “custo” em tensão para transportar a energia desde a fonte até os terminais da carga.
Determinação da Tensão de Envio
Com a queda de tensão conhecida, a tensão na fonte é determinada adicionando essa queda à tensão medida na carga. Em sistemas em corrente alternada, a soma vetorial de números complexos é realizada convertendo os valores para a forma retangular (parte real e imaginária) e, depois, retornando à forma polar para se obter a magnitude e o ângulo. Neste caso, a tensão da carga (2400∠0° V) é combinada com a queda extra (116,12∠46,03° V), resultando na tensão de fase na fonte de aproximadamente 2482,2∠1,93° V.
Por fim, utilizando a relação entre tensão de linha e de fase em uma conexão em estrela (Y), multiplicamos a tensão de fase na fonte por √3, chegando à tensão de linha na fonte:
$$ V_{linha} \approx \sqrt{3} \cdot 2482,2 \, V \approx 4299,7 \, V $$
Este valor é crítico para dimensionar equipamentos e assegurar que a tensão fornecida cumpra os requisitos de operação do sistema trifásico.
Considerações sobre a Sequência acb
Em sistemas trifásicos, a sequência de fases pode ser a padrão (abc) ou invertida (acb). Para este problema, a sequência conhecida é acb. Isso significa que, embora os cálculos “por fase” gerem um conjunto de resultados, os ângulos das fases para a fonte devem ser ajustados para refletir a ordem acb.
Tomando a fase “a” como referência em 0° (ou, neste caso, com seu ângulo derivado de 1,93° na fonte), as outras fases são obtidas subtraindo e somando 120°:
- Fase a: 2482,2∠1,93° V
- Fase c: 2482,2∠1,93° – 120° = 2482,2∠–118,07° V
- Fase b: 2482,2∠1,93° + 120° = 2482,2∠121,93° V
Esse ajuste garante que a ordem de fases seja consistente com a sequência acb, crucial na análise e na sincronização dos sistemas trifásicos.
Resumo dos Resultados Obtidos
A seguir, um resumo dos valores principais:
- Corrente de fase na carga: 120∠–36,87° A
- Queda de Tensão Extra (linha + fonte): 116,12∠46,03° V
- Tensão de Fase na Fonte: 2482,2∠1,93° V
- Tensão de Linha na Fonte: 4299,7∠1,93° V
- Tensões de Fase na Fonte (sequência acb):
- Fase a: 2482,2∠1,93° V
- Fase c: 2482,2∠–118,07° V
- Fase b: 2482,2∠121,93° V
Tabela Resumo dos Cálculos
| Parâmetro | Valor (Módulo) | Ângulo | Descrição |
|---|---|---|---|
| Vfase_carga | 2400 V | 0° | Tensão de fase na carga |
| Zcarga | 20 Ω | 36,87° | Impedância da carga |
| Ifase | 120 A | -36,87° | Corrente de fase (2400/20) |
| Zlinha | 0,806 Ω | 82,82° | Impedância de linha |
| Zinterna | 0,161 Ω | 82,82° | Impedância interna da fonte |
| Zextra | 0,9677 Ω | 82,9° | Soma Zlinha + Zinterna |
| ΔVextra | 116,12 V | 46,03° | Queda de tensão extra (120 A × 0,9677 Ω) |
| Vfonte (fase) | 2482,2 V | 1,93° | Tensão de fase na fonte (2400 V + 116,12∠46° V) |
| Vfonte (linha) | 4299,7 V | 1,93° | Tensão de linha obtida por √3 × 2482,2 V |
Conclusão e Reflexões Finais
Em conclusão, a análise dos circuitos trifásicos equilibrados exige uma abordagem cuidadosa na manipulação de grandezas complexas. Começamos identificando os parâmetros da carga e da linha, calculando a corrente a partir da tensão de fase e da impedância da carga, e depois determinando a queda de tensão extra causada pelas impedâncias associadas à linha e à fonte. A soma dessa queda com a tensão de carga resultou na tensão de envio de fase na fonte, que, quando convertida para a forma de tensão de linha, obedece à relação √3.
Além disso, o ajuste para a sequência acb foi realizado através da redistribuição dos ângulos em relação à referência escolhida (fase “a”), o que é fundamental para a correta interpretação dos resultados em sistemas trifásicos com ordem de fase alterada.
Em resumo, os valores finais obtidos foram:
- Corrente de fase na carga: 120∠–36,87° A
- Queda de tensão extra: 116,12∠46,03° V
- Tensão de fase na fonte: 2482,2∠1,93° V
- Tensão de linha na fonte: 4299,7∠1,93° V
- Tensões de fase na fonte com sequência acb: Fase a: 2482,2∠1,93° V, Fase c: 2482,2∠–118,07° V, Fase b: 2482,2∠121,93° V
Estes resultados garantem a compreensão completa do comportamento de um sistema trifásico onde a análise "por fase" facilita a solução, mesmo levando em conta os efeitos de impedâncias adicionais e a mudança da sequência de fases.
Referências
Recomendações para Exploração Adicional
Last updated February 20, 2025