Análise Completa do Problema Trifásico

Cálculo detalhado de correntes e tensões em um sistema trifásico equilibrado em Y

electrical power lines and substation equipment

Destaques Principais

Cálculo da impedância total por fase – Soma das impedâncias da carga, linha e fonte
Determinação da corrente de fase – Utilizando a tensão de fase da carga e a impedância total
Cálculo da tensão de envio e tensão de linha na fonte – Consideração da queda de tensão ao longo dos condutores

Introdução

Neste artigo, abordaremos a resolução de um problema clássico de circuitos trifásicos equilibrados em conexão estrela (Y). O sistema apresenta uma tensão de fase na carga de 2.400 V e a impedância da carga por fase é de 16 + j12 Ω. A alimentação é realizada através de uma linha com impedância de 0,10 + j0,8 Ω por fase e uma impedância interna da fonte de 0,02 + j0,16 Ω por fase. Usaremos a tensão da fase “a” da carga como referência, considerando uma sequência de fases acb. Os cálculos realizarão a determinação da corrente de fase, da queda de tensão nos condutores e, por fim, da tensão de envio (ou tensão nos terminais do gerador) e tensão de linha na fonte.

1. Determinação da Impedância Total por Fase

1.1. Componentes da Impedância

Em sistemas trifásicos em ligação em Y, cada fase possui componentes que se somam em série para a realização da análise. Neste problema, as impedâncias presentes para cada fase são:

Impedância da carga: Zc = 16 + j12 Ω
Impedância da linha: Zl = 0,10 + j0,8 Ω
Impedância interna da fonte: Zg = 0,02 + j0,16 Ω

Portanto, a impedância total por fase (Z_total) é a soma desses três elementos:

$$Z_{total} = Zc + Zl + Zg = (16 + j12) + (0,10 + j0,8) + (0,02 + j0,16)$$

1.2. Cálculo Numérico

Somando as partes reais:

16 + 0,10 + 0,02 = 16,12 Ω

E somando as partes imaginárias:

12 + 0,8 + 0,16 = 12,96 Ω

Com isso, temos:

$$Z_{total} = 16,12 + j12,96 \, \Omega$$

Para facilitar os cálculos de divisões e multiplicações, é importante também expressar esta impedância na forma polar.

1.3. Conversão para Forma Polar

A magnitude de Z_total é dada por:

$$|Z_{total}| = \sqrt{(16,12)^2 + (12,96)^2}$$

Efetuando os cálculos:

(16,12)² ≈ 259,87 e (12,96)² ≈ 168,10, de modo que a soma é aproximadamente 427,97.

Assim:

$$|Z_{total}| \approx \sqrt{427,97} \approx 20,70 \, \Omega$$

O ângulo (fase) da impedância é:

$$\theta_{Z} = \tan^{-1}\left(\frac{12,96}{16,12}\right) \approx \tan^{-1}(0,804) \approx 38,7^\circ$$

Logo, na forma polar:

$$Z_{total} = 20,70 \angle 38,7^\circ \, \Omega$$

2. Cálculo da Corrente de Fase na Carga

2.1. Utilizando a Lei de Ohm

A tensão de fase na carga é informada como 2.400 V (usada como referência com ângulo 0º para a fase a). A corrente de fase (I_f) pode, portanto, ser obtida por meio da Lei de Ohm aplicada à impedância total:

$$I_{fase} = \frac{V_{fase}}{Z_{total}}$$

Substituindo os valores:

$$I_{fase} = \frac{2400 \angle 0^\circ \, V}{20,70 \angle 38,7^\circ \, \Omega}$$

Efetuando a divisão dos módulos e subtraindo os ângulos:

$$|I_{fase}| = \frac{2400}{20,70} \approx 115,9 \, A$$

e o ângulo resultante é:

$$\theta_{I} = 0^\circ - 38,7^\circ = -38,7^\circ$$

Assim, a corrente de fase é aproximadamente:

$$I_{fase} \approx 115,9 \angle -38,7^\circ \, A$$

3. Cálculo da Tensão de Envio (Terminal do Gerador)

3.1. Queda de Tensão nos Elementos de Linha e Fonte

Após determinar a corrente que circula pela carga, é necessário calcular a queda de tensão ao longo dos elementos situados entre a carga e o gerador (a impedância da linha e a impedância interna da fonte). A soma dessas impedâncias é:

$$Z_{envio} = Z_{linha} + Z_{fonte}$$

Substituindo os valores:

$$Z_{envio} = (0,10 + j0,8) + (0,02 + j0,16) = 0,12 + j0,96 \, \Omega$$

3.2. Conversão de Z_envio para Forma Polar

Calculamos a magnitude:

$$|Z_{envio}| = \sqrt{(0,12)^2 + (0,96)^2} \approx \sqrt{0,0144 + 0,9216} \approx \sqrt{0,9360} \approx 0,9676 \, \Omega$$

E o ângulo:

$$\theta_{envio} = \tan^{-1}\left(\frac{0,96}{0,12}\right) = \tan^{-1}(8) \approx 82,9^\circ$$

3.3. Cálculo da Queda de Tensão

A queda de tensão (ΔV) ao longo dos elementos de linha e fonte é dada pelo produto da corrente de fase e a impedância total destes elementos:

$$\Delta V = I_{fase} \times Z_{envio}$$

Substituindo os valores já encontrados:

$$\Delta V = 115,9 \angle -38,7^\circ \, A \times 0,9676 \angle 82,9^\circ \, \Omega$$

Multiplicando os módulos:

115,9 × 0,9676 ≈ 112,2 V

E somando os ângulos:

$$-38,7^\circ + 82,9^\circ = 44,2^\circ$$

Portanto:

$$\Delta V \approx 112,2 \angle 44,2^\circ \, V$$

3.4. Cálculo da Tensão de Envio

A tensão de envio (ou tensão no terminal do gerador) é obtida pela soma vetorial da tensão de fase da carga e da queda de tensão nos elementos da linha e da fonte. Utilizando a tensão de fase da carga como referência, temos:

$$V_{fonte} = V_{carga} + \Delta V$$

Onde V_carga = 2.400∠0º V. Para somar as duas tensões é conveniente trabalhar em forma retangular. Assim:

3.4.1. Conversão de ΔV para Coordenadas Retangulares

A tensão ΔV em forma polar é de 112,2∠44,2º V. Assim, utilizando as funções cosseno e seno:

Parte real: 112,2 × cos(44,2º) ≈ 112,2 × 0,717 ≈ 80,4 V
Parte imaginária: 112,2 × sin(44,2º) ≈ 112,2 × 0,697 ≈ 78,2 V

3.4.2. Soma Vetorial

A tensão de carga em forma retangular é:

V_carga = 2400 + j0 V

Somando com a queda de tensão:

V_fonte = (2400 + 80,4) + j(0 + 78,2) = 2480,4 + j78,2 V

3.4.3. Conversão para Forma Polar

A magnitude de V_fonte é:

$$|V_{fonte}| = \sqrt{2480,4^2 + 78,2^2}$$

Calculando:

2480,4² ≈ 6.152.800 e 78,2² ≈ 6118, de forma que a soma é aproximadamente 6.158.918; então:

$$|V_{fonte}| \approx 2481 \, V$$

O ângulo é dado por:

$$\theta_{fonte} = \tan^{-1}\left(\frac{78,2}{2480,4}\right) \approx \tan^{-1}(0,0315) \approx 1,81^\circ$$

Portanto:

$$V_{fonte} \approx 2481 \angle 1,81^\circ \, V$$

4. Cálculo das Tensões de Linha na Fonte

4.1. Relação entre Tensão de Fase e Tensão de Linha

Em sistemas trifásicos equilibrados com conexão em Y, a tensão de linha (tensão entre dois condutores) é dada pela relação:

$$V_L = \sqrt{3} \times V_{fase}$$

Ou, no nosso caso, a tensão de linha na fonte é:

$$V_{L_{fonte}} = \sqrt{3} \times V_{fonte}$$

Substituindo a tensão de fase do gerador:

$$V_{L_{fonte}} \approx \sqrt{3} \times 2481 \, V$$

Como √3 ≈ 1,732:

$$V_{L_{fonte}} \approx 1,732 \times 2481 \approx 4295 \, V$$

Desta forma, a tensão de linha na fonte é aproximadamente 4295 V. Observa-se que variações no arredondamento podem ocasionar pequenas discrepâncias entre alguns cálculos; entretanto, o método permanece consistente.

5. Análise da Sequência de Fases e Considerações Adicionais

5.1. Importância da Sequência de Fases

A sequencia acb (ou “acb”) aplicada neste problema indica a ordem de defasagem entre as fases. Ao utilizarmos a tensão da fase “a” com ângulo de referência 0º para realizar todos os cálculos, as relações fasoriais tornam-se mais simples. Quando for necessário referenciar as outras fases, as defasagens de 120° serão aplicadas:

Fase B: defasagem de -120º ou +240º
Fase C: defasagem de 120º ou -240º

No presente cálculo, o foco foi na análise per-fase, e a aplicação da sequência acb garante que, ao referenciar ou converter para tensões de linha, as corretamente defasagens serão consideradas.

5.2. Importância da Análise Fasorial em Sistema Trifásico

A conversão entre formas retangular e polar é essencial para manipular grandezas elétricas em sistemas de corrente alternada. As operações em regime permanente – como divisão, multiplicação e soma de fasores – necessitam de rigor matemático para permitir o dimensionamento correto dos elementos do circuito e garantir o aproveitamento ótimo da energia fornecida.

6. Resumo e Representação Esquemática dos Resultados

A seguir, resumimos os principais resultados obtidos dos cálculos:

Parâmetro	Valor	Observação
Impedância Total por Fase (Z_total)	16,12 + j12,96 Ω 20,70 ∠38,7º Ω	Soma de carga, linha e fonte
Corrente de Fase (I_f)	115,9 ∠-38,7º A	Calculada a partir de 2400 V de tensão de fase
Queda de Tensão (ΔV)	112,2 ∠44,2º V	Soma de efeitos da impedância da linha e fonte
Tensão de Envio (V_fonte)	2481 ∠1,81º V	Tensão na extremidade do gerador (fase a)
Tensão de Linha na Fonte (V_L)	≈ 4295 V	Obtida por V_L = √3 × V_fonte

7. Discussão dos Procedimentos e Precisão dos Cálculos

7.1. Considerações sobre a Precisão

É importante notar que os valores numéricos obtidos podem variar ligeiramente devido ao arredondamento em cada etapa do cálculo. O emprego de calculadoras científicas ou softwares de engenharia pode minimizar essas variações, mas a metodologia apresentada permanece válida para análise de sistemas trifásicos em regime permanente. Em projetos práticos, a precisão dos cálculos é essencial para assegurar que os equipamentos estejam operando dentro dos limites especificados, evitando sobrecargas ou falhas.

7.2. Interpretação dos Resultados

A corrente de fase de aproximadamente 115,9 A, com um ângulo de -38,7º, indica que a carga apresenta um comportamento indutivo (já que o ângulo é negativo) típico em circuitos com elementos reativos (o componente j12 de 16 + j12 Ω). A tensão de envio calculada de aproximadamente 2481 V com um pequeno ângulo (1,81º) demonstra que, mesmo com a queda de tensão nos condutores, a alimentação permanece próxima do nível de tensão da carga, garantindo uma boa operação do sistema. Por sua vez, a tensão de linha na fonte, obtida pela multiplicação da tensão de fase pelo fator √3, é representativa dos valores que seriam medidos entre quaisquer dois condutores.

8. Conclusão e Considerações Finais

A análise completa do sistema trifásico, que engloba a soma seriada das impedâncias da carga, linha e fonte, permitiu determinar os principais parâmetros elétricos do circuito. Com uma tensão de fase na carga de 2.400 V e a impedância total por fase calculada como 16,12 + j12,96 Ω (ou 20,70 ∠38,7º Ω), foi possível determinar que a corrente de fase é aproximadamente 115,9 ∠-38,7º A. Este valor de corrente, quando combinado com a impedância dos condutores (linha e fonte), resultou numa queda de tensão de 112,2 ∠44,2º V, culminando na tensão de envio (no terminal do gerador) de aproximadamente 2481 ∠1,81º V.

A partir desta tensão de fase na fonte, a tensão de linha é determinada pela simplificada relação de multiplicação pelo fator √3, resultando numa tensão de linha próxima de 4295 V. A sequência de fases acb, quando referenciada à fase “a”, não altera os cálculos per-fase, mas deve ser considerada ao realizar medições entre fases, assegurando o correto alinhamento dos ângulos.

Em resumo, o procedimento adotado evidencia a importância da conversão entre formas polar e retangular para operar com fasores em sistemas CA e mostra como a metodologia de soma seriada das impedâncias e aplicação da Lei de Ohm é fundamental para a análise detalhada de circuitos trifásicos. Tais técnicas são amplamente utilizadas em projetos de distribuição elétrica, na construção de subestações e na engenharia de potência, garantindo que tanto as quedas de tensão como os efeitos de carregamento sejam rigorosamente avaliados.

Referências

Recomendações de Pesquisas Futuras

Como calcular tensões em sistemas trifásicos em ligação estrela

Análise fasorial de circuitos trifásicos

Cálculo de queda de tensão em linhas de transmissão

Last updated February 20, 2025