Análise Completa do Circuito Trifásico
Resolução detalhada para cálculos de correntes e tensões em sistema Y
Principais Destaques
- Cálculo passo a passo: Determinamos a impedância total por fase considerando carga, linha e gerador.
- Distribuição de tensão: Apresentação detalhada do método para encontrar as tensões de linha na saída do gerador e as tensões fase-neutro a vazio.
- Correntes de linha: Obtenção das correntes por fase e a correspondência em sistemas equilibrados.
Introdução
Neste exemplo, temos um sistema trifásico equilibrado ligado em Y, onde a tensão de fase aplicada à carga é de 2400 V. Cada fase da carga possui uma impedância complexa de 16 + j12 Ω, a linha de envio possui uma impedância de 0,10 + j0,8 Ω e o gerador apresenta uma impedância interna de 0,02 + j0,16 Ω por fase. Todos estes elementos se conectam em uma configuração Y (estrela). A sequência de fases adotada é “ab”, e utilizaremos a tensão da fase A na carga como referência (ângulo zero).
A resolução deste problema envolve três etapas:
- Determinar a corrente de linha, considerando que num sistema Y equilibrado as correntes de linha são iguais às correntes de fase.
- Calcular as tensões de linha na saída do gerador, levando em conta as quedas de tensão nas impedâncias da linha e interna do gerador.
- Encontrar as tensões fase-neutro a vazio do gerador, que representam a tensão sem a carga conectada.
Cálculo Detalhado
A) Corrente de Linha IaA, IbB, IcC
1. Determinação da Impedância Total por Fase
A impedância total em cada fase é a soma das impedâncias da carga, da linha e da impedância interna do gerador. Assim, temos:
$$ Z_{total} = Z_{linha} + Z_{gerador} + Z_{carga} $$
Com os valores dados:
$$ Z_{linha} = 0,10 + j0,8 \, \Omega $$
$$ Z_{gerador} = 0,02 + j0,16 \, \Omega $$
$$ Z_{carga} = 16 + j12 \, \Omega $$
Somando-os:
$$ Z_{total} = (0,10 + j0,8) + (0,02 + j0,16) + (16 + j12) $$
$$ Z_{total} = 16,12 + j12,96 \, \Omega $$
Para facilitar o cálculo, convertemos para forma polar:
$$ |Z_{total}| = \sqrt{16,12^2 + 12,96^2} \approx \sqrt{260 + 168} \approx \sqrt{428} \approx 20.69 \, \Omega $$
$$ \angle Z_{total} = \arctan\left(\frac{12,96}{16,12}\right) \approx \arctan(0.804) \approx 38.86^\circ $$
2. Cálculo da Corrente de Fase e, consequentemente, Corrente de Linha
A tensão de fase na carga é fornecida como 2400 V (utilizamos a fase A como referência com ângulo 0°). Aplicando a Lei de Ohm, temos:
$$ I_{fase} = \frac{V_{fase}}{Z_{total}} = \frac{2400 \angle 0^\circ}{20.69 \angle 38.86^\circ} \approx 115.96 \angle -38.86^\circ \, A $$
Em sistemas equilibrados ligados em Y, a corrente de linha é igual à corrente de fase. Portanto:
$$ I_{aA} = 115.96 \angle -38.86^\circ \, A $$
$$ I_{bB} = 115.96 \angle (-38.86^\circ - 120^\circ) = 115.96 \angle -158.86^\circ \, A $$
$$ I_{cC} = 115.96 \angle (-38.86^\circ + 120^\circ) = 115.96 \angle 81.14^\circ \, A $$
B) Tensões de Linha na Saída do Gerador (Vab, Vbc, Vca)
1. Cálculo da Tensão de Fase no Gerador
Para determinar as tensões de linha na saída do gerador, precisamos calcular primeiramente a tensão de fase no gerador, que leva em conta as quedas de tensão na impedância combinada da linha e na impedância interna do gerador.
A queda de tensão sobre a impedância da linha mais a impedância interna do gerador é dada por:
$$ Z_{linha+gerador} = Z_{linha} + Z_{gerador} = (0,10 + j0,8) + (0,02 + j0,16) = 0,12 + j0,96 \, \Omega $$
Convertendo para forma polar:
$$ |Z_{linha+gerador}| = \sqrt{0,12^2 + 0,96^2} \approx \sqrt{0.0144 + 0.9216} \approx \sqrt{0.936} \approx 0.967 \, \Omega $$
$$ \angle Z_{linha+gerador} = \arctan\left(\frac{0.96}{0.12}\right) \approx \arctan(8) \approx 82.87^\circ $$
O valor da queda de tensão é:
$$ V_{queda} = I_{fase} \cdot Z_{linha+gerador} = 115.96 \angle -38.86^\circ \times 0.967 \angle 82.87^\circ $$
$$ V_{queda} \approx 112.3 \angle (82.87^\circ - 38.86^\circ) = 112.3 \angle 44.01^\circ \, V $$
Assim, a tensão de fase no gerador é a soma vetorial da tensão na carga e da queda de tensão:
$$ E_{an} = V_{an} + V_{queda} = 2400 \angle 0^\circ + 112.3 \angle 44.01^\circ $$
Convertendo para a forma retangular:
A tensão de 2400 V corresponde a:
$$ 2400 + j0 \, V $$
Já a queda de tensão:
$$ 112.3 \angle 44.01^\circ = 112.3 \cos(44.01^\circ) + j\,112.3 \sin(44.01^\circ) $$
$$ \approx 80.1 + j78.2 \, V $$
Assim, somando:
$$ E_{an} \approx (2400 + 80.1) + j(0 + 78.2) = 2480.1 + j78.2 \, V $$
Convertendo para a forma polar:
$$ |E_{an}| = \sqrt{2480.1^2 + 78.2^2} \approx \sqrt{6,150,000 + 6119} \approx 2481 \, V $$
$$ \angle E_{an} = \arctan\left(\frac{78.2}{2480.1}\right) \approx 1.80^\circ $$
2. Determinando as Tensões de Fase para as demais fases
Considerando a sequência de fases “ab” e usando a tensão de fase A como referência:
$$ E_{an} = 2481 \angle 1.80^\circ \, V $$
$$ E_{bn} = 2481 \angle (1.80^\circ - 120^\circ) = 2481 \angle -118.20^\circ \, V $$
$$ E_{cn} = 2481 \angle (1.80^\circ + 120^\circ) = 2481 \angle 121.80^\circ \, V $$
3. Cálculo das Tensões de Linha
As tensões de linha na saída do gerador podem ser obtidas pela diferença entre as tensões de fase:
$$ V_{ab} = E_{an} - E_{bn} $$
$$ V_{bc} = E_{bn} - E_{cn} $$
$$ V_{ca} = E_{cn} - E_{an} $$
Embora o cálculo exato seja obtido realizando operações complexas, para sistemas equilibrados a magnitude das tensões de linha relaciona-se com a tensão de fase através do fator √3 e o ângulo de defasagem resultará em um deslocamento de 30°.
Em termos de magnitude:
$$ |V_{ab}| \approx \sqrt{3} \, |E_{fase}| \approx 1.732 \times 2481 \approx 4295 \, V $$
Ajustando os ângulos conforme os cálculos vetoriais:
$$ V_{ab} \approx 4295 \angle 32^\circ \, V $$
$$ V_{bc} \approx 4295 \angle -88^\circ \, V $$
$$ V_{ca} \approx 4295 \angle 152^\circ \, V $$
C) Tensões Fase-Neutro a Vazio do Gerador
1. Conceito e Cálculo
As tensões fase-neutro a vazio do gerador correspondem à tensão fornecida por cada fase quando não há corrente circulando (ou seja, sem queda de tensão significativa nas impedâncias internas). Em nosso caso, apesar de haver pequenas quedas de tensão nas impedâncias da linha e no gerador quando a carga está presente, essas quedas se anulam quando a carga é removida.
Portanto, as tensões fase-neutro a vazio do gerador são iguais às tensões de fase internas determinadas anteriormente:
$$ V_{AN} = E_{an} \approx 2481 \angle 1.80^\circ \, V $$
$$ V_{BN} = E_{bn} \approx 2481 \angle -118.20^\circ \, V $$
$$ V_{CN} = E_{cn} \approx 2481 \angle 121.80^\circ \, V $$
Tabela Resumo dos Resultados
| Parâmetro | Expressão | Valor Aproximado |
|---|---|---|
| Impedância Total (por fase) | \(16.12 + j12.96 \, \Omega \) ou \(20.69 \angle 38.86^\circ\) | 20.69 Ω |
| Corrente de Linha (IaA) | \(\frac{2400 \angle 0^\circ}{20.69 \angle 38.86^\circ}\) | \(115.96 \angle -38.86^\circ \, A\) |
| Corrente IbB | \(115.96 \angle -158.86^\circ \, A\) | \(115.96 \, A\) |
| Corrente IcC | \(115.96 \angle 81.14^\circ \, A\) | \(115.96 \, A\) |
| Tensão de Fase no Gerador (Eₐₙ) | \(2481 \angle 1.80^\circ \, V\) | 2481 V |
| Tensão de Linha Vab | \(\approx \sqrt{3}\,E_{fase}\) | \(4295 \angle 32^\circ \, V\) |
| Tensão de Linha Vbc | \(4295 \angle -88^\circ \, V\) | |
| Tensão de Linha Vca | \(4295 \angle 152^\circ \, V\) | |
| Tensão Fase-Neutro a Vazio (AN, BN, CN) | = Tensão de fase interna do gerador | \(2481 \, V\) (com ângulos 1.80°, -118.20° e 121.80°) |
Discussão e Análise
A resolução deste problema envolveu a consideração cuidadosa de cada componente do sistema trifásico. Destacamos os seguintes pontos:
- Soma das Impedâncias: A impedância total por fase foi calculada somando em série as impedâncias da linha, do gerador e da carga. Essa abordagem permite obter um único número complexo que representa tanto a magnitude quanto o ângulo de defasagem, fundamental para a correta aplicação da Lei de Ohm em sistemas de corrente alternada.
- Correntes em Sistemas Equilibrados: Em configurações Y, a corrente de linha é igual à corrente de fase. Assim, com a tensão de 2400 V aplicada na carga, a determinação das correntes foi realizada sem a necessidade de cálculos de transformação adicionais, mas simulando a defasagem induzida pela impedância total.
- Queda de Tensão e Tensão Interna do Gerador: A obtenção da tensão de fase no gerador exigiu adicionar a tensão de carga à queda de tensão ao longo da linha e da impedância interna. Essa abordagem resultou numa tensão de 2481 V, levando em conta tanto magnitude quanto ângulo. Em seguida, a relação entre tensão de fase e tensão de linha para sistemas equilibrados (fator √3) foi utilizada para determinar as tensões de linha.
Note que, ao calcular as diferenças vetoriais para obter as tensões de linha, os ângulos da tensão de fase se traduzem nas posições relativas das tensões resultantes, mantendo a simetria esperada em sistemas trifásicos. O método demonstra que mesmo pequenas quedas de tensão na impedância da linha e do gerador alteram minimamente a tensão de fase interna, e portanto, a tensão a vazio do gerador permanece praticamente a mesma.
Conclusão
Com base na análise realizada, podemos concluir que:
- As correntes de linha (ou de fase, no sistema Y) foram calculadas considerando a impedância total da fase, resultando em aproximadamente 116 A com defasagens específicas para cada fase (fase A: -38.86°, fase B: -158.86° e fase C: 81.14°).
- A tensão de fase interna do gerador foi obtida somando a tensão de carga com a queda de tensão ao longo da linha e impedância interna, obtendo um valor de aproximadamente 2481 V (com defasagem de cerca de 1.80°).
- As tensões de linha na saída do gerador são obtidas através da diferença vetorial entre as tensões de fase, resultando numa magnitude aproximada de 4295 V, com ângulos de 32°, -88° e 152° para Vab, Vbc e Vca, respectivamente.
- As tensões fase-neutro a vazio do gerador coincidem com as tensões de fase internas, visto que não há queda de tensão associada à corrente de carga em regime de vazio, apresentando os mesmos valores e defasagens.
Estas considerações demonstram que o procedimento adotado é coerente com as práticas de análise de sistemas trifásicos e que a superposição das impedâncias em série – carga, linha e gerador – é fundamental para uma correta determinação das quantidades elétricas em estudo.
Em suma, a resolução deste circuito trifásico fornece uma visão abrangente sobre a importância do método de soma vetorial das impedâncias e a aplicação das relações de tensão e corrente em sistemas equilibrados.
Referências
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cienciasdaeletrica.blogspot.com
Last updated February 21, 2025