Ecuación que Rige la Altura del Agua en una Piscina mediante un Sifón Invertido

Análisis detallado del vaciado de piscinas utilizando principios de mecánica de fluidos

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Puntos Clave

• Aplicación del teorema de Bernoulli modificado para considerar pérdidas de energía en el sistema.
• Derivación de una ecuación diferencial no lineal que describe la variación de la altura del agua en función del tiempo.
• Inclusión de factores reales como la fricción, tensión superficial y geometría del sifón para una modelización precisa.

Introducción

El vaciado de una piscina utilizando un sifón invertido es un proceso que implica la aplicación de principios de la dinámica de fluidos. Para modelar este proceso de manera precisa, es esencial considerar no solo los aspectos ideales del flujo sino también las imperfecciones que pueden influir en el comportamiento del sistema, como las pérdidas por fricción y la tensión superficial. Este análisis presenta una derivación detallada de la ecuación que describe cómo la altura del agua (h) en una piscina de área A disminuye con el tiempo (t) al emplear un sifón invertido con un tubo de diámetro d.

Fundamentos de la Dinámica de Fluidos Aplicados al Sifón Invertido

Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernoulli establece que en un flujo de fluido ideal y estacionario, la energía total por unidad de peso permanece constante a lo largo de una línea de flujo. Sin embargo, en sistemas reales, se deben incorporar términos adicionales para representar las pérdidas de energía debido a la fricción y otros factores.

Ecuación de Continuidad

La ecuación de continuidad establece que el caudal volumétrico (Q) es constante a lo largo del tubo del sifón. Matemáticamente, esto se expresa como:

$$ Q = A_t \cdot v $$

donde:

• \( Q \) es el caudal volumétrico.
• \( A_t = \frac{\pi d^2}{4} \) es el área transversal del tubo.
• \( v \) es la velocidad del flujo volumétrico.

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Derivación de la Ecuación para \( h(t) \)

Velocidad del Flujo

La velocidad del flujo en el sifón invertido se obtiene a partir del teorema de Bernoulli modificado que incluye pérdidas de energía. Se expresa como:

$$ v = \sqrt{2gh(t) - \frac{2\Delta P}{\rho}} $$

donde:

• \( g \) es la aceleración debida a la gravedad ( \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \) ).
• \( \Delta P \) representa la pérdida de presión debido a diversos factores.
• \( \rho \) es la densidad del agua ( \( 1000 \, \text{kg/m}^3 \) ).

Pérdidas de Energía

Pérdidas por Fricción

Las pérdidas por fricción en el tubo se calculan mediante la ecuación de Darcy-Weisbach:

$$ \Delta P_f = f \cdot \frac{L}{d} \cdot \frac{\rho v^2}{2} $$

donde:

• \( f \) es el coeficiente de fricción.
• \( L \) es la longitud del tubo.
• \( d \) es el diámetro del tubo.

Pérdidas por Tensión Superficial

Las pérdidas debido a la tensión superficial se modelan como una presión adicional:

$$ \Delta P_{\text{ts}} = \frac{4\gamma}{d} $$

donde \( \gamma \) es la tensión superficial del agua.

Ecuación Diferencial

La tasa de cambio de la altura del agua en la piscina está relacionada con el caudal volumétrico que fluye a través del sifón:

$$ A \cdot \frac{dh(t)}{dt} = -Q $$

Sustituyendo \( Q = v \cdot \frac{\pi d^2}{4} \) y las expresiones para \( v \) y \( \Delta P \), obtenemos una ecuación diferencial no lineal:

$$ \frac{dh(t)}{dt} = -\frac{\pi d^2}{4A} \sqrt{2gh(t) - \frac{2\left(f \frac{L}{d} \frac{\rho v^2}{2} + \frac{4\gamma}{d}\right)}{\rho}} $$

Solución de la Ecuación Diferencial

La ecuación diferencial resultante puede resolverse mediante métodos numéricos como Runge-Kutta o Euler. La solución proporcionará la altura del agua en función del tiempo, considerando todas las pérdidas de energía.

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Tabla de Parámetros y Pérdidas

Parámetro	Descripción	Unidad
g	Aceleración de la gravedad	m/s²
A	Área de la piscina	m²
h(t)	Altura del agua en la piscina en el tiempo t	m
d	Diámetro del tubo del sifón	m
f	Coeficiente de fricción Darcy-Weisbach	Adimensional
L	Longitud del tubo del sifón	m
γ	Tensión superficial del agua	N/m
ρ	Densidad del agua	kg/m³

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Consideraciones Adicionales

Regímenes de Flujo

El coeficiente de fricción \( f \) varía dependiendo del régimen de flujo en el tubo, ya sea laminar o turbulento. Para flujos laminares, \( f \) se calcula mediante la ecuación de Hagen-Poiseuille, mientras que para flujos turbulentos, se utilizan correlaciones como la fórmula de Colebrook-White.

Influencia de la Geometría del Sifón

La longitud total del tubo y las curvas presentes en el sifón afectan las pérdidas de energía. A mayor longitud y mayor número de curvas, incrementan las pérdidas por fricción, lo que a su vez reduce la velocidad del flujo y prolonga el tiempo necesario para vaciar la piscina.

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Ejemplo de Cálculo

Consideremos una piscina con área \( A = 50 \, \text{m²} \), una altura inicial de agua \( h_0 = 2 \, \text{m} \), un tubo de sifón con diámetro \( d = 0.05 \, \text{m} \) y longitud \( L = 10 \, \text{m} \). Supongamos un coeficiente de fricción \( f = 0.02 \) y una tensión superficial \( \gamma = 0.072 \, \text{N/m} \).

Aplicando los valores en la ecuación diferencial derivada:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
g = 9.81  # m/s²
A_pool = 50  # m²
d = 0.05  # m
L = 10  # m
f = 0.02
gamma = 0.072  # N/m
rho = 1000  # kg/m³
h0 = 2.0  # m
hs = 0.5  # m, altura del sifón

# Tiempo de simulación
t_max = 1000  # segundos
dt = 1  # paso de tiempo
n_steps = int(t_max / dt)

# Inicialización
h = np.zeros(n_steps)
t = np.linspace(0, t_max, n_steps)
h[0] = h0

# Iteración usando Método de Euler
for i in range(1, n_steps):
    if h[i-1] <= hs:
        h[i] = hs
        break
    v = np.sqrt(2 * g * h[i-1] - (2 * (f * (L/d) * (rho * (0.5 * (d<b>2) * np.pi) * h[i-1]</b>2) + (4 * gamma / d)) ) / rho))
    Q = v * (np.pi * d**2 / 4)
    dh_dt = -Q / A_pool
    h[i] = h[i-1] + dh_dt * dt
    if h[i] < 0:
        h[i] = 0
        break

# Plotting
plt.plot(t, h)
plt.xlabel('Tiempo (s)')
plt.ylabel('Altura del agua (m)')
plt.title('Vaciado de Piscina mediante Sifón Invertido')
plt.grid(True)
plt.show()
  

Este script calcula la altura del agua en función del tiempo utilizando el método de Euler para resolver la ecuación diferencial. Al ejecutar este código, se obtiene una curva que muestra cómo la altura del agua disminuye hasta alcanzar la altura del sifón \( hs \).

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Conclusión

El vaciado de una piscina mediante un sifón invertido puede modelarse eficazmente utilizando una ecuación diferencial que considera tanto los principios ideales de la dinámica de fluidos como las pérdidas reales de energía debido a la fricción y la tensión superficial. La derivación detallada de esta ecuación permite predecir la altura del agua en cualquier instante de tiempo, proporcionando una herramienta valiosa para el diseño y optimización de sistemas de sifón invertido.

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Referencias

1. Expression for height of water as a function of time given flow rate in
2. The Response Property of Inverted Siphon in Long Distance Water Distribution System
3. OPTIMUM HYDRAULIC AND STRUCTURAL DESIGN OF INVERTED SIPHON - ResearchGate
4. PDF - pressure wave in inverted siphon
5. Siphon flow rate formula derivation
6. General siphon fluid dynamics principles
7. Repositorio ANA - Ecuaciones de Sifón Invertido
8. Resoluciones Matemáticas en Sifón Invertido