الفرق بين فترة الثقة وفترة التنبؤ: البيانات نفسها وأسئلة مختلفة

تقدّر فترة الثقة لمتوسط المجتمع قيمةَ المتوسط نفسه. أما فترة التنبؤ لملاحظة مستقبلية واحدة فيجب أن تأخذ في الحسبان أيضًا تباين تلك الملاحظة. وفي ظل النموذج البسيط نفسه ومستوى الثقة نفسه، تكون الفترة الثانية أوسع. ويبقى هذا الفرق مهمًا حتى لو كان للفترتين المركز نفسه.

ما السؤال الذي تطرحه؟

يشرح نقاش NIST حول تقدير متوسط الاستجابة ونقاشه حول التنبؤ باستجابة واحدة هذا الفرق في سياق الانحدار. أما المثال أدناه فيستخدم عمدًا نموذجًا أبسط لعينة طبيعية مستقلة، وليس انحدارًا مُلائمًا للبيانات.

عينة اصطناعية أصلية

استخدم عشر قيم مخترعة بوحدات اعتباطية: 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10. هذه أرقام توضيحية وليست قياسات لعملية حقيقية. متوسطها 10 وانحرافها المعياري للعينة يساوي تقريبًا 1.154701.

في الصيغ المحسوبة هنا، نفترض أن الملاحظات والقيمة المستقبلية سحوبات مستقلة من توزيع طبيعي واحد لا يتغير، متوسطه وتباينه مجهولان. القيم العشر المخترعة لا تثبت هذه الافتراضات. أما السلاسل الزمنية الحقيقية، أو المجموعات المتجمعة، أو العمليات المتغيرة، أو آثار الانتقاء، فتتطلب نموذجًا بديلًا مناسبًا.

احسب الفترتين

مع n = 10 والقيمة الحرجة لتوزيع t ثنائي الطرف عند 95% لتسع درجات حرية، حيث t ≈ 2.262157:

mean confidence interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 / sqrt(10)
≈ [9.1740, 10.8260]

one-observation prediction interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 × sqrt(1 + 1/10)
≈ [7.2604, 12.7396]

يمثل العدد 1 الإضافي داخل الجذر التربيعي في فترة التنبؤ تباين الملاحظة الجديدة. فزيادة المعلومات قد تقلل عدم اليقين بشأن المتوسط، لكنها لا تجعل القيم المستقبلية الفردية مطابقة له. يتضمن مرجع NIST لحدود التنبؤ الصيغة المقابلة للعينات المستقلة، إضافةً إلى التوسعة لمتوسط مستقبلي.

أعد إجراء الحساب

نزّل مثال Python الذي يستخدم المكتبة القياسية. القيمة الحرجة مذكورة صراحةً بدل الإيحاء بأنها قُدّرت من هذه البيانات.

from math import sqrt
from statistics import mean, stdev

x = [8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10]
n, centre, s = len(x), mean(x), stdev(x)
t = 2.2621571627409915  # 0.975 quantile, 9 degrees of freedom
ci = t * s / sqrt(n)
pi = t * s * sqrt(1 + 1/n)
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-ci, centre+ci)))
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-pi, centre+pi)))

التفسير والأخطاء الشائعة

في إجراء الثقة، تشير النسبة 95% إلى التغطية على المدى الطويل عبر عينات متكررة، وفق افتراضاته. وهي ليست نسبة الملاحظات الفردية المتوقع وقوعها داخل فترة المتوسط. أما في التنبؤ، فتتعلق التغطية بقيمة مستقبلية مستقلة في ظل النموذج المحدد، وليست ضمانًا لكل قيمة تالية.

في الانحدار، يعتمد الحساب أيضًا على قيمة المتغير المفسِّر وعلى النموذج المُلائم. لا تنقل صيغة العينة البسيطة هذه إلى مخطط انحدار، ولا تستخدمها لاستقراء نظام تشغيل لم تتم ملاحظته. ولا تشمل أي من الفترتين تلقائيًا كل مصادر الخطأ المنهجي.

لمعرفة الفرق الأساسي بين التباين وعدم اليقين بشأن المتوسط، راجع الانحراف المعياري والخطأ المعياري وفترات الثقة. ولمعرفة المقارنات المجمّعة المضللة، راجع مفارقة سيمبسون مع مجموعة بيانات أصلية.