Un intervalo de confianza para la media poblacional estima la media. Un intervalo de predicción para una observación futura debe tener en cuenta además la variabilidad de esa observación. Con el mismo modelo simple y el mismo nivel de confianza, el segundo es más ancho. La distinción importa aunque ambos intervalos tengan el mismo centro.
¿Qué pregunta estás haciendo?
| Pregunta | Intervalo |
|---|---|
| ¿Cuál es la media poblacional? | Un intervalo de confianza para la media |
| ¿Dónde podría caer una nueva observación independiente? | Un intervalo de predicción para una observación |
| ¿Dónde está la media de varias observaciones futuras? | Un problema de predicción distinto, en el que se especifica el tamaño de la muestra futura |
El análisis del NIST sobre la estimación de respuestas promedio y su análisis de la predicción de una sola respuesta explican la distinción en regresión. El ejemplo siguiente usa deliberadamente un modelo más simple de muestra normal independiente, no una regresión ajustada.
Una muestra sintética original
Usa diez valores inventados en unidades arbitrarias: 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10. Son números ilustrativos, no mediciones de un proceso real. Su media es 10 y su desviación estándar muestral es aproximadamente 1.154701.
Para las fórmulas del ejemplo, supón que las observaciones y el valor futuro son extracciones independientes de una misma distribución normal que no cambia, con media y varianza desconocidas. Los diez valores inventados no prueban estos supuestos. Las series temporales reales, los conglomerados, los procesos cambiantes o los efectos de selección requieren un modelo alternativo adecuado.
Calcula ambos intervalos
Con n = 10 y el valor crítico t de Student bilateral al 95 % para 9 grados de libertad, t ≈ 2.262157:
mean confidence interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 / sqrt(10)
≈ [9.1740, 10.8260]
one-observation prediction interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 × sqrt(1 + 1/10)
≈ [7.2604, 12.7396]
El 1 adicional dentro de la raíz cuadrada de la predicción representa la variación de la nueva observación. Más información puede reducir la incertidumbre sobre una media sin hacer que los valores futuros individuales sean idénticos a esa media. La referencia del NIST sobre límites de predicción incluye la fórmula correspondiente para muestras independientes y la extensión a un promedio futuro.
Reproduce la aritmética
Descarga el ejemplo en Python con biblioteca estándar. El valor crítico se indica de forma explícita, en lugar de fingir que se estimó a partir de estos datos.
from math import sqrt
from statistics import mean, stdev
x = [8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10]
n, centre, s = len(x), mean(x), stdev(x)
t = 2.2621571627409915 # 0.975 quantile, 9 degrees of freedom
ci = t * s / sqrt(n)
pi = t * s * sqrt(1 + 1/n)
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-ci, centre+ci)))
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-pi, centre+pi)))
Interpretación y errores frecuentes
En el procedimiento de confianza, el 95 % se refiere a la cobertura a largo plazo en muestras repetidas, bajo sus supuestos. No es la proporción de observaciones individuales que se espera que caigan dentro del intervalo de la media. En la predicción, la cobertura se refiere a un valor futuro independiente bajo el modelo especificado; no es una garantía para cada valor siguiente.
En regresión, el cálculo también depende del valor del predictor y del modelo ajustado. No pegues esta fórmula de muestra simple sobre un gráfico de regresión ni la extrapoles a un régimen de operación no observado. Ninguno de los dos intervalos incluye automáticamente todas las fuentes de error sistemático.
Para la diferencia de fondo entre variabilidad e incertidumbre sobre una media, consulta desviación estándar, error estándar e intervalos de confianza. Para comparaciones agregadas engañosas, consulta la paradoja de Simpson con un conjunto de datos original.