Um intervalo de confiança para a média populacional estima a média. Um intervalo de predição para uma observação futura precisa levar em conta também a variabilidade dessa observação. Com o mesmo modelo simples e o mesmo nível de confiança, o segundo é mais largo. A distinção importa mesmo quando os dois intervalos têm o mesmo centro.
Qual pergunta você está fazendo?
| Pergunta | Intervalo |
|---|---|
| Qual é a média da população? | Um intervalo de confiança para a média |
| Onde pode cair uma nova observação independente? | Um intervalo de predição para uma observação |
| Onde fica a média de várias observações futuras? | Um problema de predição diferente, com o tamanho da amostra futura especificado |
A discussão do NIST sobre a estimativa de respostas médias e a discussão sobre a predição de uma única resposta explicam a distinção em regressão. O exemplo abaixo usa de propósito um modelo mais simples, de amostra normal independente, e não uma regressão ajustada.
Uma amostra sintética original
Use dez valores inventados, em unidades arbitrárias: 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10. São números ilustrativos, não medições de um processo real. A média deles é 10 e o desvio padrão amostral é aproximadamente 1.154701.
Nas fórmulas do exemplo, suponha que as observações e o valor futuro sejam sorteios independentes de uma mesma distribuição normal, que não muda, com média e variância desconhecidas. Os dez valores inventados não provam essas premissas. Séries temporais reais, grupos (clusters), processos que mudam ou efeitos de seleção exigem um modelo alternativo adequado.
Calcule os dois intervalos
Com n = 10 e o valor crítico t de Student bilateral de 95% para 9 graus de liberdade, t ≈ 2.262157:
mean confidence interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 / sqrt(10)
≈ [9.1740, 10.8260]
one-observation prediction interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 × sqrt(1 + 1/10)
≈ [7.2604, 12.7396]
O 1 extra dentro da raiz quadrada da predição representa a variação da nova observação. Mais informação pode reduzir a incerteza sobre uma média sem tornar os valores futuros individuais idênticos a ela. A referência do NIST sobre limites de predição inclui a fórmula correspondente para amostras independentes e a extensão para uma média futura.
Reproduza a aritmética
Baixe o exemplo em Python que usa só a biblioteca padrão. O valor crítico é informado explicitamente, sem fingir que foi estimado a partir desses dados.
from math import sqrt
from statistics import mean, stdev
x = [8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10]
n, centre, s = len(x), mean(x), stdev(x)
t = 2.2621571627409915 # 0.975 quantile, 9 degrees of freedom
ci = t * s / sqrt(n)
pi = t * s * sqrt(1 + 1/n)
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-ci, centre+ci)))
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-pi, centre+pi)))
Interpretação e erros comuns
No procedimento de confiança, os 95% se referem à cobertura de longo prazo em amostras repetidas, sob suas premissas. Não é a proporção de observações individuais que se espera encontrar dentro do intervalo da média. Na predição, a cobertura diz respeito a um valor futuro independente sob o modelo especificado; não é uma garantia para todo próximo valor.
Em regressão, o cálculo também depende do valor do preditor e do modelo ajustado. Não aplique a fórmula da amostra simples a um gráfico de regressão nem a extrapole para um regime de operação não observado. Nenhum dos intervalos inclui automaticamente todas as fontes de erro sistemático.
Para entender a diferença entre variabilidade e incerteza sobre a média, veja desvio padrão, erro padrão e intervalos de confiança. Para comparações agregadas enganosas, veja o paradoxo de Simpson com um conjunto de dados original.