Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi memperkirakan rata-rata tersebut. Interval prediksi untuk satu observasi mendatang harus memperhitungkan juga variabilitas observasi itu sendiri. Dengan model sederhana dan tingkat kepercayaan yang sama, interval prediksi lebih lebar. Perbedaan ini penting, bahkan ketika kedua interval memiliki titik tengah yang sama.
Pertanyaan apa yang sedang Anda ajukan?
| Pertanyaan | Interval |
|---|---|
| Berapa rata-rata populasi? | Interval kepercayaan untuk rata-rata |
| Di mana kira-kira satu observasi baru yang independen akan jatuh? | Interval prediksi untuk satu observasi |
| Di mana rata-rata dari beberapa observasi mendatang? | Masalah prediksi yang berbeda, dengan ukuran sampel mendatang yang ditentukan |
Pembahasan NIST tentang estimasi respons rata-rata dan pembahasan prediksi respons tunggal menjelaskan perbedaan ini dalam regresi. Contoh di bawah sengaja memakai model sampel normal independen yang lebih sederhana, bukan regresi hasil fitting.
Sampel sintetis orisinal
Gunakan sepuluh nilai rekaan dalam satuan sembarang: 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10. Angka-angka ini hanya ilustrasi, bukan hasil pengukuran proses nyata. Rata-ratanya 10 dan simpangan baku sampelnya sekitar 1.154701.
Untuk rumus dalam contoh ini, anggap observasi dan nilai mendatang adalah tarikan independen dari satu distribusi normal yang tidak berubah, dengan rata-rata dan varians yang tidak diketahui. Kesepuluh nilai rekaan itu tidak membuktikan asumsi tersebut. Deret waktu nyata, klaster, proses yang berubah, atau efek seleksi memerlukan model alternatif yang sesuai.
Hitung kedua interval
Dengan n = 10 dan nilai kritis t Student dua sisi 95% untuk 9 derajat kebebasan, t ≈ 2.262157:
mean confidence interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 / sqrt(10)
≈ [9.1740, 10.8260]
one-observation prediction interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 × sqrt(1 + 1/10)
≈ [7.2604, 12.7396]
Angka 1 tambahan di dalam akar kuadrat pada interval prediksi mewakili variasi observasi baru. Informasi yang lebih banyak dapat mempersempit ketidakpastian tentang rata-rata, tetapi tidak membuat nilai mendatang individual menjadi sama dengan rata-rata itu. Referensi batas prediksi NIST memuat rumus sampel independen yang bersesuaian dan perluasannya untuk rata-rata mendatang.
Mereproduksi perhitungannya
Unduh contoh Python pustaka standar. Nilai kritis dinyatakan secara eksplisit, bukan seolah-olah diestimasi dari data ini.
from math import sqrt
from statistics import mean, stdev
x = [8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10]
n, centre, s = len(x), mean(x), stdev(x)
t = 2.2621571627409915 # 0.975 quantile, 9 degrees of freedom
ci = t * s / sqrt(n)
pi = t * s * sqrt(1 + 1/n)
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-ci, centre+ci)))
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-pi, centre+pi)))
Interpretasi dan kesalahan umum
Pada prosedur kepercayaan, angka 95% merujuk pada cakupan jangka panjang dalam sampel yang berulang, dengan asumsi yang berlaku. Angka itu bukan proporsi observasi individual yang diharapkan berada di dalam interval rata-rata. Pada prediksi, cakupan berkaitan dengan satu nilai mendatang yang independen di bawah model yang ditentukan; itu bukan jaminan untuk setiap nilai berikutnya.
Dalam regresi, perhitungan juga bergantung pada nilai prediktor dan model yang difit. Jangan menempelkan rumus sampel sederhana ini ke grafik regresi atau mengekstrapolasikannya ke rezim operasi yang belum diamati. Kedua interval tidak otomatis mencakup semua sumber galat sistematis.
Untuk perbedaan mendasar antara variabilitas dan ketidakpastian tentang rata-rata, lihat simpangan baku, galat baku, dan interval kepercayaan. Untuk perbandingan agregat yang menyesatkan, lihat paradoks Simpson dengan dataset orisinal.