Un intervalle de confiance pour une moyenne de population estime cette moyenne. Un intervalle de prédiction pour une observation future doit en plus tenir compte de la variabilité de cette observation. Avec le même modèle simple et le même niveau de confiance, le second est plus large. La distinction compte même quand les deux intervalles ont le même centre.
Quelle question posez-vous ?
| Question | Intervalle |
|---|---|
| Quelle est la moyenne de la population ? | Un intervalle de confiance pour la moyenne |
| Où pourrait se situer une nouvelle observation indépendante ? | Un intervalle de prédiction pour une observation |
| Où se situe la moyenne de plusieurs observations futures ? | Un autre problème de prédiction, avec la taille de l'échantillon futur précisée |
La discussion du NIST sur l'estimation des réponses moyennes et sa discussion sur la prédiction d'une réponse individuelle expliquent cette distinction en régression. L'exemple ci-dessous utilise volontairement un modèle plus simple, un échantillon normal indépendant, et non une régression ajustée.
Un échantillon synthétique original
Utilisez dix valeurs inventées, en unités arbitraires : 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10. Ce sont des nombres d'illustration, pas des mesures d'un processus réel. Leur moyenne est 10 et leur écart type d'échantillon est d'environ 1.154701.
Pour les formules détaillées, on suppose que les observations et la valeur future sont des tirages indépendants d'une même loi normale inchangée, de moyenne et de variance inconnues. Les dix valeurs inventées ne prouvent pas ces hypothèses. Des séries temporelles réelles, des grappes, des processus qui évoluent ou des effets de sélection exigent un autre modèle adapté.
Calculer les deux intervalles
Avec n = 10 et la valeur critique bilatérale à 95 % de la loi de Student pour 9 degrés de liberté, t ≈ 2.262157 :
mean confidence interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 / sqrt(10)
≈ [9.1740, 10.8260]
one-observation prediction interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 × sqrt(1 + 1/10)
≈ [7.2604, 12.7396]
Le 1 supplémentaire sous la racine carrée de l'intervalle de prédiction représente la variation de la nouvelle observation. Davantage d'information peut réduire l'incertitude sur une moyenne sans rendre les valeurs futures individuelles identiques à cette moyenne. La référence du NIST sur les limites de prédiction donne la formule correspondante pour un échantillon indépendant et son extension à une moyenne future.
Reproduire le calcul
Téléchargez l'exemple Python en bibliothèque standard. La valeur critique est indiquée explicitement, au lieu de faire croire qu'elle a été estimée à partir de ces données.
from math import sqrt
from statistics import mean, stdev
x = [8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10]
n, centre, s = len(x), mean(x), stdev(x)
t = 2.2621571627409915 # 0.975 quantile, 9 degrees of freedom
ci = t * s / sqrt(n)
pi = t * s * sqrt(1 + 1/n)
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-ci, centre+ci)))
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-pi, centre+pi)))
Interprétation et erreurs courantes
Pour la procédure de confiance, les 95 % renvoient à la couverture à long terme sur des échantillons répétés, sous ses hypothèses. Ce n'est pas la proportion des observations individuelles attendue dans l'intervalle de la moyenne. Pour la prédiction, la couverture concerne une valeur future indépendante sous le modèle précisé ; ce n'est pas une garantie pour chaque valeur suivante.
En régression, le calcul dépend aussi de la valeur du prédicteur et du modèle ajusté. N'appliquez pas cette formule d'échantillon simple à un graphique de régression et ne l'extrapolez pas à un régime de fonctionnement non observé. Aucun des deux intervalles n'inclut automatiquement toutes les sources d'erreur systématique.
Pour la différence de fond entre variabilité et incertitude sur une moyenne, voir écart type, erreur standard et intervalles de confiance. Pour les comparaisons agrégées trompeuses, voir le paradoxe de Simpson avec un jeu de données original.