Ein Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert schätzt den Mittelwert. Ein Prognoseintervall für eine einzelne künftige Beobachtung muss zusätzlich die Variabilität dieser Beobachtung berücksichtigen. Unter demselben einfachen Modell und bei gleichem Konfidenzniveau ist Letzteres breiter. Der Unterschied ist auch dann wichtig, wenn beide Intervalle denselben Mittelpunkt haben.
Welche Frage stellen Sie?
| Frage | Intervall |
|---|---|
| Wie groß ist der Populationsmittelwert? | Ein Konfidenzintervall für den Mittelwert |
| Wo könnte eine einzelne unabhängige neue Beobachtung liegen? | Ein Prognoseintervall für eine Beobachtung |
| Wo liegt der Mittelwert mehrerer künftiger Beobachtungen? | Ein anderes Prognoseproblem, bei dem der künftige Stichprobenumfang festgelegt wird |
Die NIST-Darstellung zur Schätzung mittlerer Antworten und die Darstellung zur Prognose einzelner Antworten erklären den Unterschied für die Regression. Das Beispiel unten verwendet bewusst ein einfacheres Modell mit einer unabhängigen Normalverteilungsstichprobe, keine angepasste Regression.
Eine selbst erstellte synthetische Stichprobe
Verwenden Sie zehn erfundene Werte in beliebigen Einheiten: 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10. Es sind Zahlen zur Veranschaulichung, keine Messwerte eines realen Prozesses. Ihr Mittelwert ist 10, ihre Stichprobenstandardabweichung beträgt ungefähr 1.154701.
Für die Rechenbeispiele wird angenommen, dass die Beobachtungen und der künftige Wert unabhängige Ziehungen aus einer unveränderten Normalverteilung mit unbekanntem Mittelwert und unbekannter Varianz sind. Die zehn erfundenen Werte beweisen diese Annahmen nicht. Bei echten Zeitreihen, Clustern, sich ändernden Prozessen oder Selektionseffekten braucht man ein passendes anderes Modell.
Beide Intervalle berechnen
Mit n = 10 und dem zweiseitigen kritischen Wert der Student-t-Verteilung für 95 % bei 9 Freiheitsgraden, t ≈ 2.262157:
mean confidence interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 / sqrt(10)
≈ [9.1740, 10.8260]
one-observation prediction interval:
10 ± 2.262157 × 1.154701 × sqrt(1 + 1/10)
≈ [7.2604, 12.7396]
Die zusätzliche 1 unter der Wurzel beim Prognoseintervall steht für die Streuung der neuen Beobachtung. Mehr Information kann die Unsicherheit über einen Mittelwert verringern, ohne dass einzelne künftige Werte mit diesem Mittelwert übereinstimmen. Die NIST-Referenz zu Prognosegrenzen enthält die entsprechende Formel für unabhängige Stichproben und die Erweiterung auf einen künftigen Durchschnitt.
Die Rechnung nachvollziehen
Laden Sie das Python-Beispiel herunter, das nur die Standardbibliothek nutzt. Der kritische Wert wird ausdrücklich angegeben, statt so zu tun, als wäre er aus diesen Daten geschätzt worden.
from math import sqrt
from statistics import mean, stdev
x = [8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 10]
n, centre, s = len(x), mean(x), stdev(x)
t = 2.2621571627409915 # 0.975 quantile, 9 degrees of freedom
ci = t * s / sqrt(n)
pi = t * s * sqrt(1 + 1/n)
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-ci, centre+ci)))
print(tuple(round(v, 4) for v in (centre-pi, centre+pi)))
Interpretation und häufige Fehler
Beim Konfidenzverfahren bezieht sich die Angabe 95 % auf die Überdeckung auf lange Sicht bei wiederholten Stichproben, unter den zugrunde gelegten Annahmen. Sie ist nicht der Anteil einzelner Beobachtungen, die im Intervall des Mittelwerts liegen sollen. Bei der Prognose betrifft die Überdeckung einen unabhängigen künftigen Wert unter dem angegebenen Modell; sie ist keine Garantie für jeden nächsten Wert.
In der Regression hängt die Berechnung zusätzlich vom Wert der Einflussgröße und vom angepassten Modell ab. Übertragen Sie diese Formel für eine einfache Stichprobe nicht auf ein Regressionsdiagramm und extrapolieren Sie sie nicht auf einen unbeobachteten Betriebsbereich. Keines der beiden Intervalle enthält automatisch jede Quelle systematischer Fehler.
Zum zugrunde liegenden Unterschied zwischen Variabilität und Unsicherheit über einen Mittelwert siehe Standardabweichung, Standardfehler und Konfidenzintervalle. Zu irreführenden Vergleichen aggregierter Daten siehe Simpson-Paradoxon mit einem eigenen Datensatz.